一、知识要点
人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题,最终都表现为数学上的极值问题,即小学阶段的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多,灵活性强,解题时要善于综合运用所学的各种知识。
二、精讲精练
【例题1】a和b是小于100的两个不同的自然数,求的最大值。
根据题意,应使分子尽可能大,使分母尽可能小。所以b=1;由b=1可知,分母比分子大2,也就是说,所有的分数再添两个分数单位就等于1,可见应使所求分数的分数单位尽可能小,因此a=99
的最大值是=
答:的最大值是。
练习1:
1、设x和y是选自前100个自然数的两个不同的数,求的最大值。
2、a和b是小于50的两个不同的自然数,且a>b,求的最小值。
3、设x和y是选自前200个自然数的两个不同的数,且x>y,①求的最大值;②求的最小值。
【例题2】有甲、乙两个两位数,甲数等于乙数的。这两个两位数的差最多是多少?
甲数:乙数=:=7:3,甲数的7份,乙数的3份。由甲是两位数可知,每份的数量最大是14,甲数与乙数相差4份,所以,甲、乙两数的差是14×(7-3)=56
答:这两个两位数的差最多是56。
练习2:
1.有甲、乙两个两位数,甲数的等于乙数的。这两个两位数的差最多是多少?
2、甲、乙两数都是三位数,如果甲数的恰好等于乙数的。这两个两位数的和最小是多少?
3.加工某种机器零件要三道工序,专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个,要使每天三道工序完成的个数相同,至少要安排多少工人?
【例题3】如果两个四位数的差等于8921,就是说这两个四位数组成一个数对。问:这样的数对共有多少个?
在这些数对中,被减数最大是9999,此时减数是9999-8921=1078,被减数和剑术同时减去1后,又得到一个满足题意条件的四位数对。为了保证减数是四位数,最多可以减去78,因此,这样的数对共有78+1=79个。
答:这样的数对共有79个。
练习3
1、两个四位数的差是8921。这两个四位数的和的最大值是多少?
2、如果两个三位数的和是525,就说这两个三位数组成一个数对。那么这样的数对共有多少个?组成这样的数对的两个数的差最小是多少?最大是多少?
3、如果两个四位数的差是3456,就说这两个数组成一个数对。那么,这样的数对共有多少个?组成这样的数对的两个数的和最大是多少?最小是多少?
【例题4】三个连续自然数,后面两个数的积与前面两个数的积之差是114。这三个数中最小的是多少?
因为:最大数×中间数-最小数×中间数=114,即:(最大数-最小数)×中间数=114
而三个连续自然数中,最大数-最小数=2,因此,中间数是114÷2=57,最小数是57-1=56
答:最小数是56。
练习4
1、桑连续的奇数,后两个数的积与前两个数的积之差是252。三个数中最小的数是______.
2、a、b、c是从小到大排列的三个数,且a-b=b-c,前两个数的积与后两个数的积之差是280。如果b=35,那么c是_____。
3、被分数,,除得的结果都是整数的最小分数是______。
【例题5】三个数字能组成6个不同的三位数。这6个三位数的和是2886。求所有这样的6个三位数中的最小的三位数。
因为三个数字分别在百位、十位、个位各出现了2次。所以,2886÷222能得到三个数字的和。
设三个数字为a、b、c,那么6个不同的三位数的和为
=(a+b+c)×100×2+(a+b+c)×100×2+(a+b+c)×100×2
=(a+b+c)×222
=2886
即a+b+c=2886÷222=13
答:所有这样的6个三位数中,最小的三位数是139。
练习5
1、有三个数字能组成6个不同的三位数。这6个不同的三位数的和是3108。所有这样的6个三位数中最大的一个是多少?
2、有三个数字能组成6个不同的三位数。这6个不同的三位数的和是2220。所有这样的6个三位数中最小的一个是多少?
3、用a、b、c能组成6个不同的三位数。这6个三位数相加的和是2886。已知a、b、c三个数字中,最大的数字是最小数字的2倍,这6个三位数中最小的数是多少?
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