“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,兼有应用性和趣味性,其内容及延伸贯穿于初等数学到高等数学,因此成为小学数学中新增内容.
1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题.
2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题.
3.理解和运用概率性质进行概率的运算.
一、概率的古典定义
如果一个试验满足两条:⑴试验只有有限个基本结果;
⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的.
这样的试验,称为古典试验.对于古典试验中的事件
二、对立事件
对立事件的含义:两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生,那么这两个事件叫作对立事件
如果事件
三、相互独立事件
事件
如果事件
模块一、概率的意义
【例 1】气象台预报“本市明天降雨概率是80%”.对此信息,下列说法中正确的是________.
①本市明天将有80%的地区降水. ②本市明天将有80%的时间降水.
③明天肯定下雨. ④明天降水的可能性比较大.
【考点】概率的意义 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】希望杯,决赛
【解析】 降水概率指的是可能性的大小,并不是降水覆盖的地区或者降水的时间.80%的概率也不是指肯定下雨,100%的概率才是肯定下雨.80%的概率是说明有比较大的可能性下雨.
【答案】④
【例 2】约翰与汤姆掷硬币,约翰掷两次,汤姆掷两次,约翰掷两次,……,这样轮流掷下去.若约翰连续两次掷得的结果相同,则记1分,否则记0分.若汤姆连续两次掷得的结果中至少有1次硬币的正面向上,则记1分,否则记0分.谁先记满10分谁就赢. 赢的可能性较大(请填汤姆或约翰).
【考点】概率的意义 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】走美杯,5年级,决赛,第7题
【解析】连续扔两次硬币可能出现的情况有(正,正);(正,反);(反,正);(反,反)共四种情况。约翰扔的话,两种情况记1分,两种情况记0分;汤姆扔的话三种情况记1分,一种情况记0分。所以汤姆赢得的可能性大。
【答案】汤姆
【例 3】在某个池塘中随机捕捞
【考点】概率的意义 【难度】2星 【题型】解答
【解析】
所以池塘中的鱼被标记的概率可以看作是
【答案】
【例 4】一个小方木块的六个面上分别写有数字
【考点】概率的意义 【难度】2星 【题型】填空
【解析】 因为
【答案】小亮得分高的可能性较大
【例 5】一个骰子六个面上的数字分别为
【考点】概率的意义 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 掷的总点数在
例如,总点数是
【答案】总点数是
【例 6】从小红家门口的车站到学校,有
【考点】概率的意义 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 首先某一时刻开来
分钟 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
车号 | 1 | 9 | 9 | 9 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 9 | 9 | 9 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
显然由上表可知每
【答案】
模块二、计数求概率
【例 7】 如图所示,将球放在顶部,让它们从顶部沿轨道落下,球落到底部的从左至右的概率依次是_______.
【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 每到一个岔口,球落入两边的机会是均等的,因此,故从左至右落到底部的概率依次为
【答案】左至右落到底部的概率依次为
【例 8】一辆肇事车辆撞人后逃离现场,警察到现场调查取证,目击者只能记得车牌是由
【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 警察在调查过程中,在电脑上输入第一个数字可能是
【答案】
【例 9】 分别先后掷2次骰子,点数之和为6的概率为多少?点数之积为6的概率为多少?
【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 根据乘法原理,先后两次掷骰子出现的两个点数一共有
将点数为
点数之积为
两个数相加和为6的有5组,一共是36组,所以点数之和为6的概率是
点数之积为6的概率为
【答案】(1)
【例 10】 甲、乙两个学生各从
【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 ⑴两个数相同(差为0)的情况有
两个数差为
两个数的差为
所以两个数的差不超过
⑵两个数的差为
两个数的差为
两个数的差为
所以两个数字的差超过
两个数字的差不超过
【答案】(1)
【例 11】 工厂质量检测部门对某一批次的
【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 从
所以这两件产品恰好都是次品的概率为
两件产品中有一件次品的情况有
两件产品中都不是次品的概率有
【答案】(1)
【例 12】 一个班有女生25人,男生27人,任意抽选两名同学,恰好都是女生的概率是几分之几?
【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 从25名女生中任意抽出两个人有
从全体学生中任意抽出两个人有
【答案】
【例 13】 从6名学生中选4人参加知识竞赛,其中甲被选中的概率为多少?
【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 法一:从
其中,
所以甲被选择上的概率为
法二:显然这
即每个人作为一号选手入选的概率为
作为四号入选的概率为
互斥事件,所以他被入选的概率为
【答案】
【例 14】 一块电子手表,显示时与分,使用
【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯,6年级,1试,第8题
【解析】 一天当中,手表上显示的时刻一共有
其中冒号之前不出现
冒号之后不出现
所以不出现
所以至少看到一个数字“1”的情况有
所以至少看到一个数字“1”的概率为
【答案】
【例 15】 从立方体的八个顶点中选
⑴它们能构成多少个三角形?
⑵这些三角形中有多少个直角三角形?
⑶随机取三个顶点,这三个点构成直角三角形的可能性有多少?
【考点】计数求概率 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 从
如果三角形的三个顶点中任两个都不在正方体的一条棱上,则该三角形不是直角三角形,共有
所以直角三角形共有
构成直角三角形的可能性有
【答案】(1)
【例 16】 一个标准的五角星(如图)由
【考点】计数求概率 【难度】4星 【题型】解答
【解析】
其中涉及到
【答案】(1)
【例 17】 如图
【考点】计数求概率 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 从
三个点共线一共有
所以三个点能够成三角形的概率为
所以三个点能够成面积为
所以三个点能够成面积为
所以三个点能够成面积为
所以三个点能够成面积为
【答案】(1)
【例 18】 甲、乙、丙、丁四人互相传球,由甲开始第一次传球,每个人接到球后,都随机从其他人中选择一个人将球传出,那么第四次传球恰好传回甲手里的概率是多少?
【考点】计数求概率 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 对每一个接到球的人来说,下一次传球的方向有
所以四次传球的总路线有
而恰好传回到甲的情况,以第一步为
所以第
【答案】
模块三、对立事件与相互独立事件
【例 19】 一张圆桌旁有四个座位,
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 四人入座的不同情况有
【答案】
【例 20】 某小学六年级有
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 小宝所在班级被抽中参加娱乐活动的概率为
【答案】
【例 21】 从装有3个白球,2个黑球的口袋中任意摸出两球,全是白球的概率.
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 法一:
法二:将摸出两个球视作两次行为,摸出第一个球是白球的概率为
【答案】
【例 22】
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3星 【题型】解答
【解析】
同理,
由此可见六人抽中的概率相等,与抽签的先后顺序无关.
【答案】六个人抽中的概率相同为
【巩固】如果例题中每个人抽完都放回,任意一个人如果抽中,则后边的人不再抽取,那么每个人抽中的概率为多少?
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 抽中的概率依次为:
在这种情况下先抽者,抽中的概率大.
【答案】抽中的概率依次为:
在这种情况下先抽者,抽中的概率大.
【例 23】 在某次的考试中,甲、乙、丙三人优秀(互不影响)的概率为0.5,0.4,0.2,考试结束后,最容易出现几个人优秀?
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 注意他们的优秀率是互不影响的.
三人都优秀的概率是
只有甲乙两人优秀的概率为
只有甲丙二人优秀的概率
只有乙丙二人优秀的概率
所以有两人优秀的概率为
甲一人优秀的概率
乙一人优秀的概率
丙一人优秀的概率
所以只有一人优秀的概率为
全都不优秀的概率为
最容易出现只有一人优秀的情况.
【答案】
【巩固】在某次的考试中,甲、乙两人优秀(互不影响)的概率为0.5,0.4,考试结束后,只有乙优秀的概率为多少?
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 只有乙优秀的概率为
【答案】
【例 24】 某射手在百步之外射箭恰好射到靶心的概率为
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 ⑴全部射中靶心的概率为
⑵第一箭射中,其他两箭射空的概率为
第二箭射中,其他两箭射空的概率为
第三箭射中,其他两箭射空的概率为
有一箭射中的概率为
⑶第一箭射空,其他两箭射中的概率为
第二箭射空,其他两箭射中的概率为
第三箭射空,其他两箭射中的概率为
有两箭射空的概率为
【答案】(1)
【例 25】 设每门高射炮击中敌机的概率为
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 如果只配一门高射炮,那么未击中的概率为
配备两门高射炮那么未击中的概率为
如果配备三门高射炮,那么未击中的概率为
如果配备四门高射炮,那么未击中的概率为
如果配备五门高射炮,那么未击中的概率为
如果配备六门高射炮,那么未击中的概率为
所以至少配备
【答案】
【例 26】 某地天气变化的概率是:如果今天晴天,那么明天晴天的概率是
【考点】对立事件与相互独立事件 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 根据题意,每天的天气应该只有晴、雨两种可能,不需要考虑阴天等情况,否则是把问题复杂化,而且这道题也没法做了.
如果今天晴天,那么明天晴天的概率是3/4.如果今天下雨,那么明天晴天的概率是1/3.
也就是说:
晴——晴 概率为
晴——雨 概率为
雨——晴 概率为
雨——雨 概率为
可以画一个树状图把星期六是晴天的各种情况都列出来:
然后再分别计算四种情况的概率:
所以星期六晴天的概率是
【答案】
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