专题12 一元二次方程
（满分：100分 时间：90分钟）
班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________
一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)
1．（贵州遵义市·中考真题）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（ ）
A．5 B．10 C．11 D．13
【答案】D
【分析】
利用根与系数的关系得到
再利用完全平方公式得到
然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：根据题意得
所以
故选：D．
2．（广西中考真题）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．
x（x+1）＝110 B．
x（x﹣1）＝110
C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝110
【答案】D
【分析】
设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程．
【详解】
解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝110．
故选：D．
3．（山东聊城市·中考真题）用配方法解一元二次方程
，配方正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
按照配方法的步骤进行求解即可得答案.
【详解】
解：
移项得
，
二次项系数化1的
，
配方得
即
故选：A
4．（内蒙古通辽市·中考真题）若关于x的方程kx2﹣6x+9=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0
【答案】B
【详解】
解：（1）当k=0时，-6x+9=0，解得x=
；
（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程kx2-6x+9=0有实数根，
∴△=（-6）2-4k×9≥0，解得k≤1，
由（1）、（2）得，k的取值范围是k≤1．
故选B．
5．（贵州遵义市·中考真题）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（ ）
A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600 B．（30﹣x）（40﹣x）＝600
C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600 D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
【答案】D
【分析】
设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，
根据题意得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600．
故选：D．
6．（山东泰安市·中考真题）将一元二次方程
化成
（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．
，21 B．
，11 C．4，21 D．
，69
【答案】A
【分析】
根据配方法步骤解题即可．
【详解】
解：
移项得
，
配方得
，
即
，
∴a=-4，b=21．
故选：A
7．（贵州黔西南布依族苗族自治州·中考真题）已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
【答案】D
【分析】
根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【详解】
解：因为关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，所以b2－4ac＝22－4(m－1)×1≥0，解得m≤2．又因为(m－1)x2＋2x＋1＝0是一元二次方程，所以m－1≠0．综合知，m的取值范围是m≤2且m≠1，因此本题选D．
8．（内蒙古呼和浩特市·中考真题）关于二次函数
，下列说法错误的是（ ）
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点
，则
B．当
时，y有最小值
C．
对应的函数值比最小值大7
D．当
时，图象与x轴有两个不同的交点
【答案】C
【分析】
求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求出a即可判断A；将函数表达式化为顶点式，即可判断B；求出当x=2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函数对应方程的根的判别式，根据a值判断判别式的值，即可判断D.
【详解】
解：A、将二次函数
向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，
表达式为：
=
，
若过点（4，5），
则
，解得：a=-5，故选项正确；
B、∵
，开口向上，
∴当
时，y有最小值
，故选项正确；
C、当x=2时，y=a+16，最小值为a-9，a+16-（a-9）=25，即
对应的函数值比最小值大25，故选项错误；
D、△=
=9-a，当a＜0时，9-a＞0，即方程
有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，
故选C.
9．（浙江中考真题）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
【答案】A
【分析】
先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．
【详解】
解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
10．（河南中考真题）国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由
亿元增加到
亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为
．则可列方程为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为
，根据增长率的定义即可列出一元二次方程．
【详解】
设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为
，
∵2017年至2019年我国快递业务收入由
亿元增加到
亿元
即2019年我国快递业务收入为
亿元，
∴可列方程：
，
故选C．
二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)
11．（山东烟台市·中考真题）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．
【答案】
且
．
【分析】
根据一元二次方程有两个不相等的实数根得二次项系数不等于零,△大于零,求解不等式组即可.
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-1=0有两个不相等的实数根,即
,
解得：k＞0且k≠1.
12．（四川宜宾市·中考真题）一元二次方程
的两根为
，则
________________
【答案】
【分析】
根据根与系数的关系表示出
和
即可；
【详解】
∵
，
∴
，
，
，
∴
，
，
∴
，
=
，
=
．
故答案为
．
13．（江苏南通市·中考真题）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于_____．
【答案】2028
【分析】
根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12-4x1=2020，x1+x2=4，代入原式=x12-4x1+2x1+2x2=x12-4x1+2（x1+x2）计算可得．
【详解】
解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2020+2×4
＝2020+8
＝2028，
故答案为：2028．
14．（四川眉山市·中考真题）设
，
是方程
的两个实数根，则
的值为______．
【答案】
【分析】
由韦达定理可分别求出
与
的值，再化简要求的式子，代入即可得解．
【详解】
解：由方程
可知
，
．
故答案为：
15．（山东威海市·中考真题）一元二次方程
的解为__________．
【答案】x=
或x=2
【分析】
根据一元二次方程的解法解出答案即可．
【详解】
当x－2=0时,x=2,
当x－2≠0时,4x=1,x=
,
故答案为:x=
或x=2．
三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)
16．（甘肃兰州市·中考真题）解方程：
．
【答案】
，
.
【分析】
先找出a，b，c，再求出b2-4ac=28，根据求根公式即可求出答案．
【详解】
a=3，b=-2，c=-2，
b2-4ac=（-2）2-4×3×（-2）=28>0，
∴x=
=
，
，
.
17．（辽宁锦州市·中考真题）某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
每千克售价x（元）
…
25
30
35
…
日销售量y（千克）
…
110
100
90
…
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该超市要想获得1000的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？
（3）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）30元 （3）40元；1600元
【分析】
（1）任选表中的两组对应数值，用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）销售利润=销售量
每千克所获得的利润，得
，解出方程；
（3）构造
，利用二次函数的最大值问题解决．
【详解】
解：（1）设一次函数表达式为
，
将
代入，得
解得
．
（2）根据题意，得
，
整理，得
，
解得
（不合题意，舍去）．
答：该超市要想获得1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为30元．
（3）方法1：
设日销售利润为w元．
．
，
抛物线开口向下，
又
，
当
时，w随x的增大而增大．
当
时，w有最大值，
（元）．
答：当每千克樱桃的售价定为40元时，可获得最大利润，最大利润是1600元．
方法2：
设日销售利润为w元．
，
，
抛物线开口向下，对称轴为直线
．
当
时，w随着x的增大而增大，
当
时，w有最大值，
（元）．
答：当每千克樱桃的售价定为40元时，可获得最大利润，最大利润是1600元．
18．（广东中考真题）已知关于
，
的方程组
与
的解相同．
（1）求
，
的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为
，另外两条边的长是关于
的方程
的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）
；
（2）等腰直角三角形，理由见解析
【分析】
（1）关于x，y的方程组
与
的解相同．实际就是方程组
的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值；
（2）将a、b的值代入关于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与
为边长，判断三角形的形状．
【详解】
解：由题意列方程组：
解得
将
，
分别代入
和
解得
，
∴
，
（2）
解得
这个三角形是等腰直角三角形
理由如下：∵
∴该三角形是等腰直角三角形．
19．（广西玉林市·中考真题）已知关于x的一元二次方程
有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个不相等实数根是a，b，求
的值．
【答案】（1）k>-1；（2）1
【分析】
（1）根据∆>0列不等式求解即可；
（2）根据根与系数的关系求出a+b、ab的值，然后代入所给代数式计算即可.
【详解】
解：（1）由题意得
∆=4+4k>0，
∴k>-1；
（2）∵a+b=-2，ab=-k，
∴
=
=
=
=1.
20．（上海中考真题）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
【答案】（1）504万元；（2）20%．
【分析】
(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解；
(2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解．
【详解】
解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)，
故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350(1+x)2=504，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
