专题21 轴对称及垂直平分线-中考数学一轮复习精讲+热考题型（专题测试）（解析版）

专题21 轴对称及垂直平分线

（满分：100分 时间：90分钟）

班级_________ 姓名_________  学号_________     分数_________

一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)

1．（黑龙江牡丹江市·朝鲜族学校中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

【答案】B

【解析】

解：第一个图是轴对称图形，又是中心对称图形；

第二个图是轴对称图形，不是中心对称图形；

第三个图是轴对称图形，又是中心对称图形；

第四个图是轴对称图形，不是中心对称图形；

既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个．故选B．

2．（黑龙江哈尔滨市·中考真题）如图，在

中，

，垂足为D，

与

关于直线AD对称，点的B对称点是

，则

的度数是（   ）

A．

    B．

    C．

  D．

【答案】A

【分析】

由三角形内角和定理，得到

，由轴对称的性质，得到

，根据外角的性质即可得到答案．

【详解】

解：在

中，

，

∴

，

∵

与

关于直线AD对称，

∴

，

∴

；

故选：A．

3．（内蒙古通辽市·中考真题）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】

根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．

【详解】

三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．

故选C．

4．（广东中考真题）如图，已知

，以

两点为圆心，大于

的长为半径画圆，两弧相交于点

，连接

与

相较于点

，则

的周长为（    ）

A．8   B．10  C．11  D．13

【答案】A

【分析】

利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长=AC+BC．

【详解】

由作法得MN垂直平分AB，

∴DA=DB，

∴△BDC的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8．

故选A．

5．（河南中考真题）如图，在四边形ABCD中，

，

，

，

．分别以点A，C为圆心，大于

长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（　　）

A．

  B．4   C．3   D．

【答案】A

【分析】

连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出

．再根据ASA证明

，那么

，等量代换得到

，利用线段的和差关系求出

．然后在直角

中利用勾股定理求出CD的长．

【详解】

解：如图，连接FC，则

．

，

．

在

与

中，

，

，

，

，

．

在

中，

，

，

，

．

故选A．

6．（湖南长沙市·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于

的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是(  )

A．20°   B．30°   C．45°   D．60°

【答案】B

【分析】

根据内角和定理求得∠BAC=60°，由中垂线性质知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，从而得出答案．

【详解】

在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°，

∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，

由作图可知MN为AB的中垂线，

∴DA=DB，

∴∠DAB=∠B=30°，

∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，

故选B．

7．（广西梧州市·中考真题）如图，

是

的边

的垂直平分线，

为垂足，

交

于点

，且

，则

的周长是（　　）

A．12    B．13  C．14    D．15

【答案】B

【分析】

直接利用线段垂直平分线的性质得出

，进而得出答案．

【详解】

解：∵

是

的边

的垂直平分线，

∴

，

∵

，

∴

的周长是：

．

故选：B．

8．（天津中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（   ）

A．

   B．

    C．

   D．

【答案】C

【分析】

根据轴对称图形的概念求解．

【详解】

解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选：C．

9．（四川阿坝藏族羌族自治州·中考真题）在平面直角坐标系中，点

关于

轴对称的点是（    ）

A．

  B．

  C．

  D．

【答案】A

【分析】

根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数'解答即可.

【详解】

解：点

关于

轴对称的点的坐标是

，

故选：A

10．（山东日照市·中考真题）如图，几何体由5个相同的小正方体构成，该几何体三视图中为轴对称图形的是（　　）

A．主视图  B．左视图

C．俯视图  D．主视图和俯视图

【答案】B

【分析】

由题意观察图形先得到该几何体的三视图，再根据轴对称图形的定义进行分析即可求解．

【详解】

解：由如图所示的几何体可知：

该几何体的主视图、左视图和俯视图分别是，

其中左视图是轴对称图形．

故选：B

二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)

11．（四川达州市·中考真题）如图，点

与点

关于直线

对称，则

______．

【答案】-5

【分析】

根据点

与点

关于直线

对称求得a，b的值，最后代入求解即可．

【详解】

解：∵点

与点

关于直线

对称

∴a=-2，

,解得b=-3

∴a+b=-2+（-3）=-5

故答案为-5．

12．（山东德州市·中考真题）如图，在

的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是________．

【答案】

【分析】

根据轴对称的定义，确定可以构成轴对称图形的情况，根据概率公式求解即可．

【详解】

解：如图，图中共有12个白色正方形，其中涂黑1个使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的共有2种情况，

所以概率为P=

．

故答案为：

13．（四川眉山市·中考真题）如图，等腰

中，

，边

的垂直平分线交

于点

，交

于点

．若

的周长为

，则

的长为________．

【答案】

【分析】

过点A作AF⊥BC于F，先根据垂直平分线已知条件得出BC=16，再根据等腰三角形的三线合一和勾股定理得出AF=6，再根据

即可得出结论

【详解】

解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，∠DEC=90°，AE=5

∵

的周长为

，
∴AB+BD+AD=26

∴AB+BD+DC=AB+BC=26

∵AB=10，∴BC=16，
过点A作AF⊥BC于F，

∵AB=AC=10

∴CF=8，

∵∠DEC=∠AFC= 90°，∠C=∠C

∴

∴

∴

∴DE=

故答案为：

14．（江苏常州市·中考真题）如图，在

中，

的垂直平分线分别交

、

于点E、F．若

是等边三角形，则

_________°．

【答案】30

【分析】

根据垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B.

【详解】

解：∵EF垂直平分BC，

∴BF=CF，

∴∠B=∠BCF，

∵△ACF为等边三角形，

∴∠AFC=60°，

∴∠B=∠BCF=30°.

故答案为：30.

15．（青海中考真题）如图所示ΔABC中，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线MN交AC于D,ΔDBC的周长是24cm,则BC=___________cm．

【答案】10

【分析】

由MN是AB的垂直平分线可得AD=BD，于是将△BCD的周长转化为BC与边长AC的和来解答．

【详解】

∵

，

∴BD+DC+BC=24cm，

∵MN垂直平分AB，

∴AD=BD，

∴AD+DC+BC=24cm，

即AC+BC=24cm，

又∵AC=14cm，

∴BC=24-14=10cm．

故答案为：10

三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)

16．（山东枣庄市·中考真题）如图，

是菱形

的对角线，

，（1）请用尺规作图法，作

的垂直平分线

，垂足为

，交

于

；（不要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）条件下，连接

，求

的度数．

【答案】（1）答案见解析；（2）45°．

【分析】

（1）分别以A、B为圆心，大于

长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；

（2）根据∠DBF＝∠ABD﹣∠ABF计算即可；

【详解】

（1）如图所示，直线EF即为所求；

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ABD＝∠DBC

∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C，

∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，

∴∠C＝∠A＝30°．

∵EF垂直平分线段AB，

∴AF＝FB，

∴∠A＝∠FBA＝30°，

∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．

17．（浙江宁波市·中考真题）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：

（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．

（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）根据轴对称图形的定义画出图形构成一个大的等边三角形即可（答案不唯一）．
（2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可（答案不唯一）．

【详解】

解：（1）轴对称图形如图1所示．

（2）中心对称图形如图2所示．

18．（吉林中考真题）如图①、图②、图③都是

的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．

，

，

均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：

（1）在图①中，画一条不与

重合的线段

，使

与

关于某条直线对称，且

，

为格点．

（2）在图②中，画一条不与

重合的线段

，使

与

关于某条直线对称，且

，

为格点．

（3）在图③中，画一个

，使

与

关于某条直线对称，且

，

，

为格点．

【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；（3）图见解析．

【分析】

（1）先画出一条

的正方形网格的对称轴，根据对称性即可在图①中，描出点AB的对称点MN，它们一定在格点上，再连接

即可．

（2）同（1）方法可解；

（3）同（1）方法可解；

【详解】

解：（1）如图①，

的正方形网格的对称轴l，描出点AB关于直线l的对称点MN，连接

即为所求；

（2）如图②，同理（1）可得，

即为所求；

（3）如图③，同理（1）可得，

即为所求．

19．（内蒙古赤峰市·中考真题）小琪同学和爸爸妈妈一起回老家给奶奶过生日，他们为奶奶准备了一个如图所示的正方形蛋糕，蛋糕的每条边上均匀镶嵌着4颗巧克力.爸爸要求小琪只切两刀把蛋糕平均分成4份，使每个人分得的蛋糕和巧克力数都相等.

（1）请你在图1中画出一种分法(无需尺规作图)；

（2）如图2，小琪同学过正方形的中心切了一刀，请你用尺规作图帮她作出第2刀所在的直线，(不写作法，保留作图痕迹)

【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析

【分析】

（1）顺着正方形蛋糕的对角线切出两刀，即可把蛋糕和巧克力均分成四份；

（2）要将正方形蛋糕均分成四份，第一刀必须保证过蛋糕的中心，第二刀为第一刀的中垂线即可，保留尺规作图中垂线的痕迹．

【详解】

解：（1）如下图所示，顺着正方形蛋糕的对角线切出两刀，即可把蛋糕和巧克力均分成四份：

（2）要将正方形蛋糕均分成四份，第一刀必须保证过蛋糕的中心，第二刀为第一刀的中垂线即可，如下图所示，设第一刀与蛋糕边线的交点为A、B，分别以A、B为圆心，任一半径（比AB的一半长即可），画圆弧，圆弧交点的连线即为第二刀：

20．（湖南株洲市·九年级期中）如图，在

中，

.

⑴已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：

；

⑵以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连结AQ，若

，求

的度数.

【答案】（1）见解析；（2）∠B=36°.

【分析】

（1）根据垂直平分线的性质，得到PA=PB，再由等腰三角形的性质得到∠PAB=∠B，从而得到答案；

（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAQ=∠BQA，设∠B=x，由题意得到等式∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，即可得到答案.

【详解】

（1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上，

所以PA=PB，

所以∠PAB=∠B，

所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B.

（2）根据题意，得BQ=BA，

所以∠BAQ=∠BQA，

设∠B=x，

所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，

所以∠BAQ=∠BQA=2x，

在△ABQ中，x+2x+2x=180°，

解得x=36°，即∠B=36°.