专题27 菱形与梯形-中考数学一轮复习精讲+热考题型（专题测试）（解析版）

专题27 菱形与梯形

（满分：100分 时间：90分钟）

班级_________ 姓名_________  学号_________     分数_________

一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)

1．（内蒙古呼和浩特市·中考真题）命题①设

的三个内角为A、B、C且

，则

、

、

中，最多有一个锐角；②顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；③从11个评委分别给出某选手的不同原始评分中，去掉1个最高分、1个最低分，剩下的9个评分与11个原始评分相比，中位数和方差都不发生变化．其中错误命题的个数为（   ）

A．0个  B．1个  C．2个  D．3个

【答案】B

【分析】

①设

、

、

中，有两个或三个锐角，分别判断有两个锐角和有三个锐角时矛盾，并且说明有一个锐角的情况存在即可；②利用中位线的性质和矩形的判定可判断；③根据评分规则和中位数、方差的意义判断.

【详解】

解：①设

、

、

中，有两个或三个锐角，

若有两个锐角，假设

、

为锐角，

则A+B＜90°，A+C＜90°，

∴A+A+B+C=A+180°＜180°，

∴A＜0°，不成立，

若有三个锐角，同理，不成立，

假设A＜45°，B＜45°，则α＜90°，

∴最多只有一个锐角，故命题①正确；

②如图，菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，

∴HG∥EF，HE∥GF，

∴四边形EFGH是平行四边形，

∵AC⊥BD，

∴HE⊥HG，

∴四边形EFGH是矩形，故命题②正确；

③去掉一个最高分和一个最低分，不影响中间数字的位置，故不影响中位数，

但是当最高分过高或最低分过低，平均数有可能随之变化，同样，方差也会有所变化，

故命题③错误；

综上：错误的命题个数为1，

故选B.

2．（黑龙江牡丹江市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形

对角线

的中点，

轴且

，

，将菱形

绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（    ）

A．

  B．

 

．

  D．

或

【答案】D

【分析】

分点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解.

【详解】

解：根据菱形的对称性可得：当点D在x轴上时，

A、B、C均在坐标轴上，如图，

∵∠BAD=60°，AD=4，

∴∠OAD=30°，

∴OD=2，

∴AO=

=OC，

∴点C的坐标为（0，

），

同理：当点C旋转到y轴正半轴时，

点C的坐标为（0，

），

∴点C的坐标为（0，

）或（0，

），

故选D.

3．（浙江绍兴市·中考真题）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（　　）

A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形

B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形

C．平行四边形→正方形→菱形→矩形

D．平行四边形→菱形→正方形→矩形

【答案】B

【分析】

根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况．

【详解】

解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．

故选：B．

4．（江苏南通市·中考真题）下列条件中，能判定▱ABCD是菱形的是（　　）

A．AC＝BD    B．AB⊥BC  C．AD＝BD    D．AC⊥BD

【答案】D

【分析】

根据菱形的判定条件即可得到结果；

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；

故选：D．

5．（西藏中考真题）如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（　　）

A．∠ADB＝90°   B．OA＝OB    C．OA＝OC    D．AB＝BC

【答案】D

【分析】

根据菱形的判定定理和矩形的判定定理分别对各个选项进行推理判断即可．

【详解】

A、平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°，

不能判定四边形ABCD为菱形，故选项A不符合题意；

B、∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∵OA＝OB，

∴AC＝BD，

∴平行四边形ABCD是矩形，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项B不符合题意；

C、∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项C不符合题意；

D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，

∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意；

故选：D．

6．（内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）如图，在

中，

分别是边

上的中线，

于点

，点

分别是

的中点，若

，

，则四边形

的周长是（    ）

A．14    B．20  C．22    D．28

【答案】B

【分析】

根据已知条件证明四边形MNDE为菱形，结合OB和OC的长求出MN，OM，OE，计算出EM，可得结果．

【详解】

解：∵BD和CE分别是△ABC的中线，

∴DE=

BC，DE∥BC，

∵M和N分别是OB和OC的中点，OB=8，OC=6，

∴MN=

BC，MN∥BC，OM=

OB=4，ON=

OC=3，

∴四边形MNDE为平行四边形，

∵BD⊥CE，

∴平行四边形MNDE为菱形，

∴OE=ON=3

∴BC=

，

∴DE=MN=EM=DN=5，

∴四边形MNDE的周长为20，

故选B．

7．（浙江台州市·中考真题）如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于

同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（    ）

A．AB平分∠CAD  B．CD平分∠ACB   C．AB⊥CD    D．AB=CD

【答案】D

【分析】

根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案

【详解】

解：由作图知AC=AD=BC=BD，

∴四边形ACBD是菱形，

∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，

不能判断AB=CD，

故选：D．

8．（山东威海市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，对角线

，

，

，

为

的中点，E为边

上一点，直线

交

于点F，连结

，

．下列结论不成立的是（    ）

A．四边形

为平行四边形

B．若

，则四边形

为矩形

C．若

，则四边形

为菱形

D．若

，则四边形

为正方形

【答案】D

【分析】

根据平行四边形的性质及判定定理，以及特殊平行四边形的判定定理进行逐一判断即可得解．

【详解】

A.∵四边形ABCD是平行四边形

∴

∴

∵

为

的中点

∴

在

与

中

∴

∴

又∵

∴四边形

为平行四边形，

故A选项正确；

B.假设

∵

，

，

∴

∴

∴

∵

∴

则当

时，

∵四边形

为平行四边形

∴四边形

为矩形，

故B选项正确；

C.∵

，

∴E是AB中点

∵

∴

∵四边形

为平行四边形

∴四边形

为菱形，

故C选项正确；

D.当

时与

时矛盾，则DE不垂直于AB，则四边形

不为矩形，则也不可能为正方形，故D选项错误，

故选：D．

9．（内蒙古通辽市·中考真题）如图，

是

的中线，四边形

是平行四边形，增加下列条件，能判断

是菱形的是(　　　)

A．

    B．

  C．

    D．

【答案】A

【分析】

根据菱形的判定方法逐一分析即可.

【详解】

解：A、若

，则AD=BD=CD=AE，∵四边形ADCE是平行四边形，则此时四边形ADCE为菱形，故选项正确；

B、若

，则四边形ADCE是矩形，故选项错误；

C、若

，则∠ADC=90°，则四边形ADCE是矩形，故选项错误；

D、若

，而AB＞AD，则AE≠AD，无法判断四边形ADCE为菱形，故选项错误.

故选A.

10．（广西来宾市·九年级三模）如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC＝∠DCE，则下列结论不正确的是（　　）

A．S_△AFD＝2S_△EFB   B．BF＝

DF

C．AE＝DC   D．∠AEB＝∠ADC

【答案】A

【分析】

根据已知条件即可推出△BEF∽△DAF，推出选项A符合题意，选项B不符合题意；推出四边形AECD为等腰梯形，得出选项C、D不符合题意即可．

【详解】

解：∵平行四边形ABCD中，

∴△BEF∽△DAF，

∵E是BC的中点，

∴BF：FD＝BE：AD，

∴BF＝

DF，故选项B不符合题意；

∴S_△AFD＝4S_△EFB，故选项A符合题意；

∵∠AEC＝∠DCE，AD∥BC，

∴四边形AECD

为等腰梯形，

∴∠AEC＝∠C，AE＝DC，故选项C不符合题意；

∵∠AEB+∠AEC＝180°，∠ADC+∠C＝180°，∠AEC＝∠C，

∴∠AEB＝∠ADC，故选项D不符合题意；

故选：A．

二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)

11．（江苏淮安市·中考真题）菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为_____．

【答案】5

【分析】

根据菱形对角线垂直平分，再利用勾股定理即可求解.

【详解】

解：因为菱形的对角线互相垂直平分，

根据勾股定理可得菱形的边长为

＝5．

故答案为5．

12．（辽宁大连市·中考真题）如图，菱形

中，

，则

_____

．

【答案】

【分析】

利用菱形的性质可得到∠BAC=∠BCA=∠ACD=

，再利用三角形的内角和定理即可求解．

【详解】

∵四边形ABCD为菱形

∴AC平分∠DCB，DC

AB

∴∠BAC=∠BCA=∠ACD=

∴在

中，∠ABC=

−∠BAC−∠BCA=

−

−

=

故答案为：

13．（内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为6，4，反比例函数y＝

（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2

，则k的值为_____．

【答案】12

【分析】

过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为6，4，可得出横坐标，即可表示AE，BE的长，根据菱形的面积为2

，求得AE的长，在Rt△AEB中，计算BE的长，列方程即可得出k的值．

【详解】

解：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，

∵BC∥x轴，

∴AE⊥BC，

∵A，B两点在反比例函数y＝

（x＞0）的图象，且纵坐标分别为6，4，

∴A（

，6），B（

，4），

∴AE＝2，BE＝

﹣

＝

，

∵菱形ABCD的面积为2

，

∴BC×AE＝2

，即BC＝

，

∴AB＝BC＝

，

在Rt△AEB中，BE＝

＝

＝1，

∴

k＝1，

∴k＝12，

故答案为：12．

14．（辽宁营口市·中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为_____．

【答案】4

【分析】

根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．

【详解】

解：∵OA＝1，OB＝2，

∴AC＝2，BD＝4，

∴菱形ABCD的面积为

×2×4＝4．

故答案为：4．

15．（陕西中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为_____．

【答案】2

．

【分析】

过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，可得BG＝3，AG＝3

＝EH，由题意可得，FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，进而根据勾股定理可得EF的长．

【详解】

解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，

得矩形AGHE，

∴GH＝AE＝2，

∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，

∴BG＝3，AG＝3

＝EH，

∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，

∵EF平分菱形面积，

∴FC＝AE＝2，

∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，

在Rt△EFH中，根据勾股定理，得

EF＝

＝

＝2

．

故答案为：2

．

三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)

16．（广东广州市·中考真题）如图，

中，

．

（1）作点

关于

的对称点

；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）所作的图中，连接

，

，连接

，交

于点

．

①求证：四边形

是菱形；

②取

的中点

，连接

，若

，

，求点

到

的距离．

【答案】（1）见解析；（2）①见解析：②

．

【分析】

（1）过点

做

的垂线交

于点

，在

的延长线上截取

，即可求出所作的点

关于

的对称点

；

（2）①利用

，

得出

，利用

，以及

得出四边形

是菱形；

②利用

为中位线求出

的长度，利用菱形对角线垂直平分得出

的长度，进而利用

求出

的长度，得出对角线

的长度，然后利用面积法求出点

到

的距离即可．

【详解】

（1）解：如图：点

即为所求作的点；

（2）①证明：

∵

，

，

又∵

，

∴

；

∴

，

又∵

，

∴四边形

是菱形；

②解：∵四边形

是菱形，

∴

，

，

又∵

，

∴

，

∵

为

的中点，

∴

，

∵

，

∴

为

的中位线，

∵

，

∴

，

∴菱形的边长为13，

∵

，

在

中，由勾股定理得：

，即：

，

∴

,

设点

到

的距离为

，利用面积相等得：

，

解得：

，

即

到

的距离为

．

17．（湖北黄石市·中考真题）如图，反比例函数

的图象与正比例函数

的图象相交于

、B两点，点C在第四象限，BC∥x轴．

（1）求k的值；

（2）以

、

为边作菱形

，求D点坐标．

【答案】（1）k=2；（2）D点坐标为(1+

，2)．

【分析】

（1）根据题意，点

在正比例函数

上，故将点

代入正比例函数

中，可求出a值，点A又在反比例函数图像上，故k值可求；

（2）根据（1）中已知A点坐标，则B点坐标可求，根据两点间距离公式可以求出AB的长，最后利用已知条件四边形ABCD为菱形，BC∥x，即可求出D点坐标．

【详解】

（1）根据题意，点

在正比例函数

上，故将点

代入正比例函数

中，得a=2，故点A的坐标为(1,2)，点A又在反比例函数图像上，设反比例函数解析式为

，将A(1,2)代入反比例函数解析中，得k=2．

故k=2．

（2）如图，A、B为反比例函数与正比例函数的交点，故可得

，解得

，

，如图，已知点A坐标为(1,2)，故点B坐标为(－1，－2)，根据两点间距离公式可得AB=

，根据已知条件中四边形ABCD为菱形，故AB=AD=

，AD∥BC∥x轴，则点D坐标为(1+

，2)．

故点D坐标为(1+

，2)．

18．（上海中考真题）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．

（1）求证：△BEC∽△BCH；

（2）如果BE²=AB·AE，求证：AG=DF．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【分析】

(1)先证明△CDF≌△CBE，进而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形对边CD

BH，得到∠H=∠DCF，进而∠BCE=∠H即可求解．

(2) 由BE²=AB·AE，得到

=

，再利用AG

BC，平行线分线段成比例定理得到

=

，再结合已知条件即可求解．

【详解】

解：(1)∵四边形ABCD是菱形，

∴CD=CB，∠D=∠B，CD

AB．

∵DF=BE，

∴△CDF≌△CBE(SAS)，

∴∠DCF=∠BCE．

∵CD

BH，

∴∠H=∠DCF，

∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B，

∴△BEC∽△BCH．

(2)∵BE²=AB·AE，

∴

=

，

∵AG

BC，

∴

=

，

∴

=

，

∵DF=BE，BC=AB，

∴BE=AG=DF，

即AG=DF．

19．（湖北咸宁市中考真题）如图，在

中，以点B为圆心，

长为半径画弧，交

于点E，在

上截取

，连接

．

（1）求证：四边形

是菱形；

（2）请用无刻度的直尺在

内找一点P，使

（标出点P的位置，保留作图痕迹，不写作法）

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）根据四边形ABCD为平行四边形，得出AF∥BE，由作图过程可知AF=BE，结合AB=BE即可证明；

（2）利用菱形对角线互相垂直的性质，连接AE和BF，交点即为点P.

【详解】

解：（1）根据作图过程可知：AB=BE，AF=BE，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AF∥BE，

∵AF=BE，

∴四边形ABEF为平行四边形，

∵AB=BE，

∴平行四边形ABEF为菱形；

（2）如图，点P即为所作图形，

∵四边形ABEF为菱形，则BF⊥AE，

∴∠APB=90°.

20．（福建中考真题）如图，点

分别在菱形

的边

，

上，且

．

求证：

．

【答案】详见解析

【分析】

根据菱形的性质可知AB=AD，∠B=∠D，再结合已知条件BE=DF即可证明

后即可求解．

【详解】

解：证明：∵四边形

是菱形，

∴

，

．

在

和

中，

∴

，

∴

．