专题28 四边形综合-中考数学一轮复习精讲+热考题型（解析版）

专题28 四边形综合

【知识要点】

四边形之间的从属关系

特殊四边形的性质与判定：

【考查题型】

考查题型一四边形综合

典例1．（浙江温州市·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（    ）

A．14                                                            B．15

C．

                                                        D．

【答案】A

【提示】连接EC，CH，设AB交CR于点J，先证得△ECP∽△HCQ，可得

，进而可求得CQ＝10，AC:BC＝1:2，由此可设AC＝a，则BC＝2a，利用AC∥BQ，CQ∥AB，可证得四边形ABQC为平行四边形，由此可得AB＝CQ＝10，再根据勾股定理求得

，

，利用等积法求得

，进而可求得CR的长．

【详解】解：如图，连接EC，CH，设AB交CR于点J，

∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，

∴∠ACE＝∠BCH＝45°，

∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°，

∴∠ACE＋∠ACB＋∠BCH＝180°，∠ACB＋∠BCI＝180°，

∴点E、C、H在同一直线上，点A、C、I在同一直线上，

∵DE∥AI∥BH，

∴∠CEP＝∠CHQ，

∵∠ECP＝∠QCH，

∴△ECP∽△HCQ，

∴

，

∵PQ＝15，

∴PC＝5，CQ＝10，

∵EC:CH＝1:2，

∴AC:BC＝1:2，

设AC＝a，则BC＝2a，

∵PQ⊥CR，CR⊥AB，

∴CQ∥AB，

∵AC∥BQ，CQ∥AB，

∴四边形ABQC为平行四边形，

∴AB＝CQ＝10，

∵

，

∴

，

∴

（舍负）

∴

，

，

∵

，

∴

，

∵JR＝AF＝AB＝10，

∴CR＝CJ＋JR＝14，

故选：A．

变式1-1．（江苏无锡市·中考真题）如图，在四边形

中

，

，

，

，把

沿着

翻折得到

，若

，则线段

的长度为（   ）

A．

                      B．

                      C．

                      D．

【答案】B

【提示】根据已知，易求得

，延长

交

于

，可得

，则

，再过点

作

，设

，则

，

，

，在

中，根据

，代入数值，即可求解．

【详解】解：如图

∵

，

，

，

∴

，

∴

，

∵

，

∴

，

∴

，延长

交

于

，

∴

，则

，

，

过点

作

，设

，则

，

， 

∴

，

∴在

中，

，即

，

解得：

，

∴

．

故选B．

变式1-2．（浙江中考真题）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（　　）

A．1                           B．

                        C．

                      D．

【答案】B

【提示】

如图，连接DD＇,延长C＇D＇交AD于E，由菱形ABC＇D＇，可得AB∥C＇D＇,进一步说明∠ED＇D=30°,得到菱形AE=

AD;又由正方形ABCD,得到AB=AD,即菱形的高为AB的一半,然后分别求出菱形ABC＇D＇和正方形ABCD的面积,最后求比即可．

【详解】

解：如图：延长C＇D＇交AD于E

∵菱形ABC＇D＇

∴AB∥C＇D＇

∵∠D＇AB=30°

∴∠A D＇E=∠D＇AB=30°

∴AE=

AD

又∵正方形ABCD

∴AB=AD,即菱形的高为AB的一半

∴菱形ABC′D′的面积为

，正方形ABCD的面积为AB²．

∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是

．

故答案为B．

变式1-3．（四川眉山市·中考真题）如图，在菱形

中，已知

，

，

，点

在

的延长线上，点

在

的延长线上，有下列结论：①

；②

；③

；④若

，则点

到

的距离为

．则其中正确结论的个数是(   )

A．1个                       B．2个                       C．3个                       D．4个

【答案】B

【提示】

①只要证明

即可判断；②根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质即可判断；③根据相似三角形的判定方法即可判断；④求得点

到

的距离即可判断．综上即可得答案.

【详解】

∵四边形

是菱形，

∴

，

，

∵∠ABC=60°，

∴

是等边三角形，

∴∠ACD=∠ACB=60°，AB=AC，

∴∠ABE=∠ACF=120°，

∵

，

∴∠BAE+∠BAF=∠CAF+∠BAF=60°，

∴

，

∴

，

在

和

中，

，

∴

，

∴

，

．故①正确；

∵

，

∴

是等边三角形，

∴

，

∵

，

∴

，故②正确；

∵

，

∴

，

∵

，

∴

和

不会相似，故③不正确；

过点

作

于点

，过点

作

于点

，

∵

，

，

∴

，

∵在

中，

，

，

∴

，

，

∵在

中，

，

∴

，

∴

，

∵

，

∴

，

，

∴

，

∴在

中，

，

，

∴

．

∴

．

∴点

到

的距离为

，故④不正确．

综上，正确结论有①②，共2个，

故选B．

变式1-4．（四川攀枝花市·九年级一模）如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC及AB的延长线于点F，G，H，连接HE，HC，OD，连接CO并延长交AD于点M．则下列结论中：

①FG=2AO；②OD∥HE；③

；④2OE²=AH·DE；⑤GO+BH=HC

正确结论的个数有（　　）

A．2                           B．3                           C．4                           D．5

【答案】B

【提示】

建立以B点位坐标原点的平面直角坐标系，分别求出相应直线的解析式和点的坐标，求出各线段的距离，可得出结论.

【详解】

解：如图，

建立以B点为坐标原点的平面直角坐标系，设正方形边长为2，可分别得各点坐标，

A(0,2),B(0,0),C(2,0),D(2,2), E为CD的中点,可得E点坐标（2，1），可得AE的直线方程，

，由OF为直线AE的中垂线可得O点为

，设直线OF的斜率为K，得

，可得k=2,同时经过点O(

),可得OF的直线方程：

，可得OF与x轴、y轴的交点坐标G(

,0),H(0,

),及F(

,2),

同理可得：直线CO的方程为：

，可得M点坐标（

，2），

可得：①FG=

,

AO=

=

,

故FG=2AO，故①正确；

②：由O点坐标

，D点坐标（2，2），可得OD的方程：

，

由H点坐标(0,

)，E点坐标（2，1），可得HE方程：

，

由两方程的斜率不相等，可得OD不平行于HE，

故②错误；

③由A(0,2)，M（

，2），H(0,

)，E（2，1），

可得：BH=

,EC=1,AM=

,MD=

,

故

=

，

故③正确；

④：由O点坐标

，E（2，1），H(0,

)，D(2,2),

可得：

,

AH=

,DE=1,

有2OE²=AH·DE，

故④正确；

⑤：由G(

,0)，O点坐标

，H(0,

)，C(2,0),

可得：

,

BH=

,HC=

,

可得：GO≠BH+HC,

故正确的有①③④，

故选B.

变式1-5．（广东九年级三模）如图，在一张矩形纸片

中，

，

，点

，

分别在

，

上，将纸片

沿直线

折叠，点

落在

上的一点

处，点

落在点

处，有以下四个结论：

①四边形

是菱形；②

平分

；③线段

的取值范围为

；④当点

与点

重合时，

．

以上结论中，你认为正确的有（　　）个．

A．1                           B．2                           C．3                           D．4

【答案】C

【提示】

①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；

②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，判断出②错误；

③点H与点A重合时，设BF=x，表示出AF=FC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=CD，求出最大值BF=4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；

④过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．

【详解】

解：

①∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，

∴FH∥CG，EH∥CF，

∴四边形CFHE是平行四边形，

由翻折的性质得，CF=FH，

∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；

②∴∠BCH=∠ECH，

∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；

③点H与点A重合时，此时BF最小，设BF=x，则AF=FC=8-x，

在Rt△ABF中，AB²+BF²=AF²，

即4²+x²=（8-x）²，

解得x=3，

点G与点D重合时，此时BF最大，CF=CD=4，

∴BF=4，

∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；

过点F作FM⊥AD于M，

则ME=（8-3）-3=2，

由勾股定理得，

EF=

=

=

，（故④正确）；

综上所述，结论正确的有①③④共3个，

故选C．

考查题型二 连接四边形中点得到新四边形，探索其性质

典例2．（黑龙江双鸭山市模拟）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是( )

A．菱形                                                        B．对角线互相垂直的四边形

C．矩形                                                         D．对角线相等的四边形

【答案】D

【提示】

根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=

BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．

【详解】

解：∵E，F，G，H分别是边AD，DC，CB，AB的中点，

∴EH=

AC，EH∥AC，FG=

AC，FG∥AC，EF=

BD，

∴EH∥FG，EF=FG，

∴四边形EFGH是平行四边形，

假设AC=BD，

∵EH=

AC，EF=

BD，

则EF=EH，

∴平行四边形EFGH是菱形，

即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，

故选D．

变式2-1．（河北模拟）如图，

，

是四边形

的对角线，点

，

分别是

，

的中点，点

，

分别是

，

的中点，连接

，

，

，

，要使四边形

为正方形，则需添加的条件是（   ）

A．

，

                           B．

，

C．

，

                           D．

，

【答案】A

【提示】

证出

、

、

、

分别是

、

、

、

的中位线，得出

，

，

，

，证出四边形

为平行四边形，当

时，

，得出平行四边形

是菱形；当

时，

，即

，即可得出菱形

是正方形．

【详解】

点

，

分别是

，

的中点，点

，

分别是

，

的中点，

、

、

、

分别是

、

、

、

的中位线，

，

，

，

，

四边形

为平行四边形，

当

时，

，

平行四边形

是菱形；

当

时，

，即

，

菱形

是正方形；

故选：

．

变式2-2．（四川成都市一模）顺次连结一个平行四边形的各边中点所得四边形的形状是（）

A．平行四边形           B．矩形                      C．菱形                      D．正方形

【答案】A

【详解】

试题提示：连接平行四边形的一条对角线，根据中位线定理，可得新四边形的一组对边平行且等于对角线的一半，即一组对边平行且相等．则新四边形是平行四边形．

解：顺次连接平行四边形ABCD各边中点所得四边形必定是：平行四边形，

理由如下：

（如图）根据中位线定理可得：GF=

BD且GF∥BD，EH=

BD且EH∥BD，

∴EH=FG，EH∥FG，

∴四边形EFGH是平行四边形．

故选A．

变式2-3．（河北保定市模拟）如图，在任意四边形

中，

，

，

，

分别是

，

，

，

上的点，对于四边形

的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（   

）

A．当

，

，

，

是各边中点，且

时，四边形

为菱形

B．当

，

，

，

是各边中点，且

时，四边形

为矩形

C．当

，

，

，

不是各边中点时，四边形

可以为平行四边形

D．当

，

，

，

不是各边中点时，四边形

不可能为菱形

【答案】D

【提示】

当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点时，连接AC、BD，如图，根据三角形的中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形，然后根据菱形的定义和矩形的定义即可对A、B两项进行判断；画出符合题意的平行四边形

，但满足

，

，

，

不是各边中点即可判断C项；画出符合题意的菱形

，但满足

，

，

，

不是各边中点即可判断D项，进而可得答案．

【详解】

解：A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点时，连接AC、BD，如图，则由三角形的中位线定理可得：EH=

BD，EH∥BD；FG=

BD，FG∥BD，所以EH=FG，EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形；

当AC＝BD时，∵EH=

BD，EF=

AC，∴EF=EH，故四边形EFGH为菱形，故A正确；

B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，如上图，由三角形的中位线定理可得：EH∥BD，EF∥AC，所以EH⊥EF，故平行四边形EFGH为矩形，故B正确；

C．如图所示，若EF∥HG，EF＝HG，则四边形EFGH为平行四边形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故C正确；

D．如图所示，若EF＝FG＝GH＝HE，则四边形EFGH为菱形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故D错误；

故选：D．

变式2-4．（广东惠州市·九年级一模）已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有（ ）

A．8048个    B．4024个    C．2012个    D．1066个

【答案】B

【解析】

：第1个图形，有4个直角三角形，

第2个图形，有4个直角三角形，

第3个图形，有8个直角三角形，

第4个图形，有8个直角三角形，

…，

依次类推，当n为奇数时，三角形的个数是2（n+1），当n为偶数时，三角形的个数是2n个，

所以，第2012个图形中直角三角形的个数是2×2012=4024．

故选B．

变式2-5．（南昌市模拟）如图，四边形ABCD中，AC＝m，BD＝n，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A₁B₁C₁D₁，再顺次连接四边形A₁B₁C₁D₁各边中点，得到四边形A₂B₂C₂D₂……，如此进行下去，得到四边形A₅B₅C₅D₅的周长是（     ）

A．

                  B．

                       C．

                    D．

【答案】A

【提示】

根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形A₁B₁C₁D₁是矩形，根据菱形的判定定理得到四边形A₂B₂C₂D₂是平行四边形，得到四边形A₅B₅C₅D₅为矩形，计算即可．

【详解】

解：点A₁，D₁分别是AB、AD的中点，

∴A₁D₁∥BD，A₁D₁＝

BD＝

n，

同理：B₁C₁∥BD，B₁C₁＝

BD＝

n，

∴A₁D₁∥B₁C₁，A₁D₁＝B₁C₁，

∴四边形A₁B₁C₁D₁是平行四边形，

∵AC⊥BD，AC∥A₁B₁，BD∥A₁D₁，

∴A₁B₁⊥A₁D₁，

∴四边形A₁B₁C₁D₁是矩形，其周长为2×（

m＋

n）＝m＋n，

同理，四边形A₂B₂C₂D₂是平行四边形，

∵A₂B₂＝

A₁C₁，B₂C₂＝

A₁C₁，

∴A₂B₂＝B₂C₂，

∴四边形A₂B₂C₂D₂是菱形，

同理，A₃B₃C₃D₃为矩形，周长为

，

∴矩形A₅B₅C₅D₅的周长为

，

故选：A．

考查题型三 利用平行四边形（特殊）的对称性求阴影面积

典例3．（山东济南市一模）如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，矩形ABCD内的一个动点P落在阴影部分的概率是（ ）

A．

                         B．

                         C．

                         D．

【答案】B

【解析】

试题提示：矩形的对角线将矩形分割成面积相等的四部分，如图，因为△DOF和△EOB是全等三角形，将△DOF切割到△EOB与△AOE合并成△AOB，刚好占了该矩形面积的

，所以P落在阴影部分的概率是

.

考点：矩形的性质和事件概率

变式3-1．下面各图中，所有大正方形边长是

，所有小正方形边长是

.下面各图中阴影部分面积最大的是(    )

A．

          B．

      C．

          D．

【答案】B

【提示】

大正方形的边长为4，小正方形的边长为3，根据：三角形的面积=底×高÷2，平行四边形的面积=底×高，分别求出四个选项中阴影部分的面积，然后进行比较即可．

【详解】

解：大正方形的边长为4，小正方形的边长为3，则：
A、阴影部分的面积为：3×4=12；
B、阴影部分的面积为：4×（3+4）÷2=14；
C、阴影部分的面积为：3×（3+4）÷2=10.5；
D、阴影部分的面积为：4×4÷2+3×3÷2=12.5；

B图形的阴影面积最大.
故选：B．

变式3-2．（天津市一模）正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是( )cm²．

A．

    B．

    C．

    D．

【答案】B

【解析】

试题提示：阴影部分的面积可转化为两个三角形面积之和，根据角平分线定理，可知阴影部分两个三角形的高相等，正方形的边长已知，故只需将三角形的高求出即可，根据△DON∽△DEC可将△ODC的高求出，进而可将阴影部分两个三角形的高求出．

连接AC，过点O作MN∥BC交AB于点M，交DC于点N，PQ∥CD交AD于点P，交BC于点Q

∵AC为∠BAD的角平分线，

∴OM=OP，OQ=ON；

设OM=OP=h₁，ON=OQ=h₂，

∵ON∥BC

∴

，即

，解得

∴OM=OP

故选B.

变式3-3．（襄樊市一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB₁E，则△AB₁E与四边形AECD重叠部分的面积为（ ）

A．0．7                      B．0．9                      C．2

−2                   D．

【答案】C

【解析】

试题提示：如图，求出AE、BE的长度，证明△CFB₁∽△BAB₁，列出比例式求出CF的长度，运用三角形的面积公式即可解决问题．

试题解析：如图：

∵∠B=45°，AE⊥BC

∴∠BAE=∠B=45°

∴AE=BE

由勾股定理得：BE²+AE²=2²

解得：BE=

由题意得：△ABE≌△AB₁E

∴∠BAB₁=2∠BAE=90°，BE=B₁E=

∴BB₁=2

，B₁C=2

-2

∵四边形ABCD为菱形，

∴∠FCB₁=∠B=45°，∠CFB₁=∠BAB₁=90°，

∴∠CB₁F=45°，CF=B₁F

∵CF∥AB

∴△CFB₁∽△BAB₁，

∴

，解得：CF=2-

∴△AEB₁、△CFB₁的面积分别为：

，

．

∴△AB₁E与四边形AECD重叠部分的面积=

．

故选C．

考查题型四 平行四边形（特殊）动点问题

典例4．（江苏南通市·中考真题）如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm²），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（　　）

A．96cm²                    B．84cm²                    C．72cm²                    D．56cm²

【答案】C

【提示】

过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式求出EH=AB=6，由图2可知当x=14时，点P与点D重合，则AD=12，可得出答案．

【详解】

解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，

过点E作EH⊥BC，

由三角形面积公式得：y＝

，

解得EH＝AB＝6，

∴BH=AE=8,

由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，

∴ED=4,

∴BC=AD＝12，

∴矩形的面积为12×6＝72．

故选：C．

变式4-1．（贵州铜仁市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【提示】

分别求出0≤x≤4、4＜x＜7时函数表达式，即可求解．

【详解】

解：由题意当0≤x≤4时，

y＝

×AD×AB＝

×3×4＝6，

当4＜x＜7时，

y＝

×PD×AD＝

×（7﹣x）×4＝14﹣2x．

故选：D．

变式4-2．（江西赣州市模拟）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B=60°，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米²，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是（  ）

A．

     B．

     C．

     D．

【答案】D

【提示】

应根据0≤t＜2和2≤t＜4两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解．

【详解】

当0≤t＜2时，S=

×2t×

×（4﹣t）=﹣

t²+2

t；

当2≤t＜4时，S=

×4×

×（4﹣t）=﹣

t+4

；

只有选项D的图形符合，

故选D．

变式4-3．（邵阳市模拟）如图，正方形ABCD边长为4，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能是（　　）

A．

B．

C．

    D．

【答案】A

【提示】

本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数y的表达式，结合选项的图象可得答案．

【详解】

解：∵正方形ABCD边长为4，AE＝BF＝CG＝DH

∴AH＝BE＝CF＝DG，∠A＝∠B＝∠C＝∠D

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG

∴y＝4×4﹣

x（4﹣x）×4

＝16﹣8x+2x²

＝2（x﹣2）²+8

∴y是x的二次函数，函数的顶点坐标为（2，8），开口向上，

从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意；

但是B的顶点在x轴上，故B不符合题意，只有A符合题意．

故选：A．

考查题型五 求四边形中线段最值问题

典例5．（西藏中考真题）如图，在矩形

中，

，动点

满足

，则点

到

两点距离之和

的最小值为（　　）

A．

                   B．

                   C．

                     D．

【答案】A

【提示】

先由

，得出动点

在与

平行且与

的距离是

的直线

上，作

关于直线

的对称点

，连接

，则

的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形

中，由勾股定理求得

的值，即可得到

的最小值．

【详解】

设

中

边上的高是

．

，

，

，

动点

在与

平行且与

的距离是

的直线

上，

如图，作

关于直线

的对称点

，连接

，则

的长就是所求的最短距离，

在

中，

，

，

即

的最小值为

．

故选：A．

变式5-1．（浙江杭州市模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=2AB=4，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为（    ）

A．1                           B．

                  C．

                      D．

【答案】C

【解析】

如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．

∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，

∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2，

∵AM=DM=DC=2，

∴△CDM是等边三角形，

∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC，

∴∠MAC=∠MCA=30°，

∴∠ACD=90°，

∴AC=2

，

在Rt△ACN中，∵AC=2360docimg_501_，∠ACN=∠DAC=30°，

∴AN=360docimg_502_AC=360docimg_503_，

∵AE=EH，GF=FH，

∴EF=360docimg_504_AG，

易知AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，

∴AG的最大值为2360docimg_505_，最小值为360docimg_506_，

∴EF的最大值为360docimg_507_，最小值为360docimg_508_，

∴EF的最大值与最小值的差为360docimg_509_．

变式5-2．（洛阳模拟）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为　(      )

360docimg_510_

A．360docimg_511_                         B．360docimg_512_                         C．360docimg_513_                         D．360docimg_514_

【答案】A

【提示】

先根据矩形的判定得出四边形360docimg_515_是矩形，再根据矩形的性质得出360docimg_516_，360docimg_517_互相平分且相等，再根据垂线段最短可以得出当360docimg_518_时，360docimg_519_的值最小，即360docimg_520_的值最小，根据面积关系建立等式求解即可．

【详解】

解：∵360docimg_521_，360docimg_522_，360docimg_523_，

∴360docimg_524_，

∵360docimg_525_，360docimg_526_，

∴四边形360docimg_527_是矩形，

∴360docimg_528_，360docimg_529_互相平分，且360docimg_530_，

又∵360docimg_531_为360docimg_532_与360docimg_533_的交点，

∴当360docimg_534_的值时，360docimg_535_的值就最小，

而当360docimg_536_时，360docimg_537_有最小值，即此时360docimg_538_有最小值，

∵360docimg_539_，

∴360docimg_540_360docimg_541_，

∵360docimg_542_，360docimg_543_，360docimg_544_，

∴360docimg_545_，

∴360docimg_546_，

∴360docimg_547_．

故选：360docimg_548_．

变式5-3．（辽宁铁岭市模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为（   ）

360docimg_549_

A．4                           B．6                           C．8                           D．9

【答案】B

【详解】

作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F

360docimg_550_

AE的长度是固定的，要△AEF的周长最小，只要AF+EF最小即可，又根据三角形两边之和大于第三边可知，对CD上任意点F′,总有AF′+E′F′＞AE′,所以点F是使得AF+EF最小的点．

∵在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC中点，

∴BE=CE=CE′=6，

∵AB⊥BC，CD⊥BC，

∴△CE′F∽△BE′A，即CE′·AB=CF·BE′，即6×9=CF·(12+6)，解得CF=3，

∴DF=CD-CF=9-3=6

故选B