专题34 锐角三角形-中考数学一轮复习精讲+热考题型（专题测试）（解析版）

专题34 锐角三角形

（满分：100分 时间：90分钟）

班级_________ 姓名_________  学号_________     分数_________

一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)

1．（山东济南市·中考真题）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的央角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF

BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（    ）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）

A．2.6m   B．2.8m    C．3.4m    D．4.5m

【答案】B

【分析】

首先证明四边形ACDF是矩形，利用∠PBE的正弦值可求出AC的长，即可得DF的长，利用∠PEB的正切值即可得答案．

【详解】

∵FD⊥AB，AC⊥EB，

∴DF∥AC，

∵AF∥EB，

∴四边形ACDF是平行四边形，

∵∠ACD＝90°，

∴四边形ACDF是矩形，

∴DF＝AC，

在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠ABE=43°，

∴AC＝AB·sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），

∴DF＝AC＝1.12（m），

在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠PEB=20°，

∴tan∠PEB＝

≈0.4，

∴DE≈

＝2.8（m），

故选：B．

2．（山东烟台市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（    ）

A．

   B．

  C．

    D．

【答案】D

【分析】

先根据矩形的性质和折叠的性质得AF＝AD＝BC=5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出BF的长，则CF可得，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到x，进一步可得DE的长，再根据正切的定义即可求解．

【详解】

解：∵四边形ABCD为矩形，

∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，

∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，

∴AF＝AD＝5，EF＝DE，

在Rt△ABF中，BF＝

，

∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，

设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x

在Rt△ECF中，∵CE²+FC²＝EF²，

∴x²+1²＝（3﹣x）²，解得x＝

，

∴DE＝EF＝3﹣x＝

，

∴tan∠DAE＝

，

故选：D．

3．（重庆中考真题）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i=1∶2.4，则信号塔AB的高度约为（　　）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）

A．23米   B．24米   C．24.5米   D．25米

【答案】D

【分析】

如图，作EF⊥CD于F，EG⊥BC于G．解直角三角形DEF得EF=30米，DF=72米，得EG=150米，解直角三角形AFG得AG=139.5米，求出AB即可．

【详解】

解：作EF⊥CD于F，EG⊥BC于G．

在Rt△DEF中，设EF=x米，∵i=1∶2.4

∴DF=2.4x米，

∴DE=

米

∴

=75，

∴x=30米，

∴DF=2.4x=72米，

∴GE=FC=DF+CD=72+78=150米，CG=EF=30米，

在Rt△AEG中，

米

∴

米．

故选：D．

4．（山东威海市·中考真题）如图，矩形

的四个顶点分别在直线

，

，

，

上．若直线

且间距相等，

，

，则

的值为（    ）

A．

    B．

    C．

  D．

【答案】A

【分析】

根据题意，可以得到BG的长，再根据∠ABG＝90°，AB＝4，可以得到∠BAG的正切值，再根据平行线的性质，可以得到∠BAG＝∠α，从而可以得到tanα的值．

【详解】

解：作CF⊥l₄于点F，交l₃于点E，设CB交l₃于点G，

由已知可得GE∥BF，CE＝EF，

∴△CEG∽△CFB，

∴

，

∵

，

∴

，

∵BC＝3，

∴GB＝

，

∵l₃∥l₄，

∴∠α＝∠GAB，

∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，

∴∠ABG＝90°，

∴tan∠BAG＝

=

=

，

∴tanα的值为

，

故选：A．

5．（广东深圳市·中考真题）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（   ）

 

A．200tan70°米  B．

米    C．200sin70°米  D．

米

【答案】B

【分析】

在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．

【详解】

解：在Rt△PQT中，

∵∠QPT=90°，∠PQT=90°-70°=20°，

∴∠PTQ=70°，

∴

，

∴

，

即河宽

米，

故选：B．

6．（湖南娄底市·中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂

，阻力臂

，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（    ）

A．越来越小   B．不变    C．越来越大   D．无法确定

【答案】A

【分析】

根据杠杆原理及

的值随着

的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．

【详解】

解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，

∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，

∴动力随着动力臂的增大而减小，

∵杠杆向下运动时

的度数越来越小，此时

的值越来越大，

又∵动力臂

，

∴此时动力臂也越来越大，

∴此时的动力越来越小，

故选：A．

7．（湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系

中，矩形

的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边

．则点C到x轴的距离等于（    ）

A．

    B．

    C．

    D．

【答案】A

【分析】

作CE⊥y轴于E．解直角三角形求出OD，DE即可解决问题．

【详解】

作CE⊥y轴于E．

在Rt△OAD中，

∵∠AOD=90°，AD=BC=

，∠OAD=

，
∴OD=

，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
又∵∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠CDE=∠OAD=

，

∴在Rt△CDE中，

∵CD=AB=

，∠CDE=

，
∴DE=

，

∴点C到

轴的距离=EO=DE+OD=

，

故选：A．

8．（贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角

为55°，测角仪

的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆

的高度为x米，则下列关系式正确的是（    ）

A．

  B．

 

C．

   D．

【答案】B

【分析】

根据仰角的定义和锐角三角函数解答即可．

【详解】

解：∵在

中，

，

∴

，

，

，

故选：B．

9．（云南昆明市·中考真题）某款国产手机上有科学计算器，依次按键：

，显示的结果在哪两个相邻整数之间（　　）

A．2～3    B．3～4    C．4～5    D．5～6

【答案】B

【分析】

用计算器计算得3.464101615……得出答案．

【详解】

解：使用计算器计算得，

4sin60°≈3.464101615，

故选：B．

10．（湖南长沙市·中考真题）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（   ）

A．

米   B．

米  C．21米   D．42米

【答案】A

【分析】

在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．

【详解】

解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42

（米）.
故选：A．

二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)

11．（广西中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cosA的值是_____．

【答案】

【分析】

根据余弦的定义解答即可.

【详解】

解：在Rt△ABC中，cosA＝

＝

，

故答案为：

.

12．（贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）如图所示，在四边形

中，

，

，

．连接

，

，若

，则

长度是_________．

【答案】10

【分析】

根据直角三角形的边角间关系，先计算

，再在直角三角形

中，利用勾股定理即可求出

．

【详解】

解：在

中，

∵

，

∴

．

在

中，

．

故答案为：10．

13．（内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）计算：

+（

）^﹣2﹣3tan60°+（π

）⁰＝_____．

【答案】10

【分析】

直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．

【详解】

解：

+（

）^﹣2﹣3tan60°+（π

）⁰

＝3

+9﹣3

+1

＝10．

故答案为：10．

14．（辽宁阜新市·中考真题）如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角

，两树间的坡面距离

，则这两棵树的水平距离约为_________m（结果精确到

，参考数据：

）．

【答案】4.7

【分析】

如图所示作出辅助线，得到∠BAC=α=20°，AB=5，再利用余弦的定义，得到

即可解答．

【详解】

解：如图所示，过点A作AC平行于水平面，过点B作BC⊥AC于点C，则AC为所求，

由题意可知：∠BAC=α=20°，AB=5，

则

，

即

，

故答案为：4.7．

15．（湖南湘潭市·中考真题）计算：

________．

【答案】

【分析】

根据特殊角的三角函数值直接书写即可．

【详解】

故答案为：

．

三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)

16．（四川广安市·中考真题）如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，己知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平线AE垂直，AB=154cm，∠A=30°，另一根辅助支架DE=78cm，∠E=60°．

（1）求CD的长度．（结果保留根号）

（2）求OD的长度．（结果保留一位小数．参考数据：

≈1.414，

≈1.732）

【答案】（1）

的长度为

；（2）

的长度为18.9cm

【分析】

（1）首先弄清题意，了解每条线段的长度与线段之间的关系，在△CDE中利用三角函数sin60°=

，求出CD的长．

（2）首先设出水箱半径OD的长度为x厘米，表示出CO，AO的长度，根据直角三角形的性质得到CO=

AO，再代入数计算即可得到答案．

【详解】

解：（1）在

中，

，

答：

的长度为

；

（2）设水箱半径OD的长度为x厘米，则CO=（

+x）厘米，AO=（154+x）厘米，

∵∠A=30°，

∴CO=

AO，

+x=

（154+x），

解得：x=154-78

≈154-135.096≈18.9cm．

答：

的长度为18.9cm．

17．（四川中考真题）计算：（﹣2）^-2﹣|

﹣2|+（﹣

）⁰﹣

﹣2cos30°．

【答案】

【分析】

首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．

【详解】

解：（﹣2）^﹣2﹣|

﹣2|+（﹣

）⁰﹣

﹣2cos30°

＝

﹣2+

+1﹣2﹣2×

＝﹣2

．

18．（湖北荆门市·中考真题）如图，海岛B在海岛A的北偏东

方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东

方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．

（1）求

的度数；

（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．

（参考数据：

）

【答案】（1）

；（2）快艇的速度为9.85海里时，C，E之间的距离为19.9海里．

【分析】

（1）过点B作

于点D，作

于点E，根据题意求出∠ABD和∠ADE的度数，即可求解；

（2）求出BE的长度，根据解直角三角形求出BF和EF的长度，在

中，求出AD、BD的长度，证出四边形

为矩形，可求得快艇的速度和CE之间的距离．

【详解】

（1）过点B作

于点D，作

于点E．

由题意得：

，

，

∵

，

∴

，

而

∴

．

（2）

（海里）

在

中，

，

（海里），

（海里），

在

中，

，

（海里），

（海里），

∵

，

，

，∴

，

∴四边形

为矩形，

∴

，

∴

，

设快艇的速度为v海里/时，则

（海里时）

答：快艇的速度为9.85海里时，C，E之间的距离为19.9海里．

19．（辽宁丹东市·中考真题）如图，小岛

和

都在码头

的正北方向上，它们之间距离为

，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头

的正西方向

处时，测得

，渔船速度为

，经过

，渔船行驶到了

处，测得

，求渔船在

处时距离码头

有多远？（结果精确到

）

（参考数据：

，

，

，

，

，

）

【答案】14.2 km.

【分析】

根据题意，可求出

km,

km，则可得

km,在

中利用三角函数可得

，所以

km,然后在

中，根据三角函数列出关于

的方程，解方程即可得出答案.

【详解】

解：依题可得，

km,

设

km，则

km,

在

中，

，

，

，

，

km,

km,

在

中，

，

，

解得：

即渔船在

处时距离码头

约14.2km.

20．（内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）图1是挂墙式淋浴花洒的实物图，图2是抽象出来的几何图形．为使身高175cm的人能方便地淋浴，应当使旋转头固定在墙上的某个位置O，花洒的最高点B与人的头顶的铅垂距离为15cm，已知龙头手柄OA长为10cm，花洒直径AB是8cm，龙头手柄与墙面的较小夹角∠COA＝26°，∠OAB＝146°，则安装时，旋转头的固定点O与地面的距离应为多少？（计算结果精确到1cm，参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49）

【答案】177cm

【分析】

记地面水平线为

，通过作辅助线构造直角三角形，分别在Rt

和在Rt

中，根据锐角三角函数求出OE、BF，而点B到地面的高度为175+15＝190cm，进而求OG即可．

【详解】

解：如图，过点B作地面的垂线，垂足为D，

过点 A作地面GD的平行线，交OC于点E，交BD于点F，

在Rt

中，∠AOE＝26°，OA＝10，

则OE＝OA·cos∠AOE≈10×0.90＝9cm，

 

 

 

 

在Rt

中，∠BAF＝30°，AB＝8，

则BF＝AB·sin∠BOF＝8×

＝4cm，

∴OG＝BD﹣BF﹣OE＝（175+15）﹣4﹣9＝177cm，

答：旋转头的固定点O与地面的距离应为177cm．