一、单项选择题
1．(2023·咸阳模拟)已知集合A＝{－1,0,1,2,3}，B＝{x|2x2－5x－3<0}，那么集合A∩B等于( )
A．{－1,0,1,2} B．{0,1,2,3}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2,3}
答案 C
解析 因为B＝{x|2x2－5x－3<0}＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}＝，
故A∩B＝{0,1,2}．
2．设集合A＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}，则集合A的子集个数为( )
A．16 B．32 C．15 D．31
答案 B
解析 因为集合A＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}＝{1,2,3,4,5}，
所以集合A的子集个数为25＝32.
3．(2022·百师联盟联考)命题“∀x>0，cos x>－x2＋1”的否定是( )
A．∀x>0，cos x≤－x2＋1
B．∀x≤0，cos x>－x2＋1
C．∃x>0，cos x≤－x2＋1
D．∃x≤0，cos x≤－x2＋1
答案 C
4．(2023·长沙模拟)已知p：>1；q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是( )
A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，1]
答案 C
解析 由>1，可得x(x－1)<0，解得0<x<1，
记A＝{x|0<x<1}，B＝{x|x>m}，
若p是q的充分条件，
则A是B的子集，所以m≤0，
所以实数m的取值范围是(－∞，0]．
5．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则ab的值为( )
A．3 B．2 C．1 D．6
答案 D
解析 因为关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，
则a<0，－1，是方程ax2＋bx＋1＝0的根．
由根与系数的关系，得－＝－1＋，＝－1×，
解得a＝－3，b＝－2，故ab＝6.
6．(2023·衡水质检)已知实数x，y，z满足x>y，z>0，则下列不等式恒成立的是( )
A.－>0 B.－<0
C．x2z－y2z>0 D．xz>yz
答案 D
解析 令x＝2，y＝1，z＝1，则－＝－，即－<0，所以A选项错误；
令x＝1，y＝－1，z＝1，则－＝2，即－>0，所以B选项错误；
令x＝－1，y＝－2，z＝1，则x2z－y2z＝－3<0，所以C选项错误；
因为xz－yz＝(x－y)z，由x>y，z>0得xz－yz>0，即xz>yz，所以D选项正确．
7．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，对于x∈S，如果x＋1∉S，x－1∉S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有( )
A．5个 B．6个 C．9个 D．12个
答案 B
解析 若由S的3个元素构成的集合中不含“好元素”，则这3个元素一定是连续的3个整数，
故不含“好元素”的集合有{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．
8．当a>0且a≠1时，若∀x∈R，a2x＋a－2x＋t(ax＋a－x)>0成立，则t的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)
答案 C
解析 令m＝ax＋a－x，则当a>0且a≠1时，m＝ax＋a－x≥2＝2，
当且仅当x＝0时，等号成立，
且m2＝(ax＋a－x)2＝a2x＋a－2x＋2，
则a2x＋a－2x＝m2－2，
原不等式可化为m2＋tm－2>0对任意m∈[2，＋∞)恒成立．
所以t>－m恒成立，
又y＝－m在[2，＋∞)上单调递减，
所以t>－2＝－1.
二、多项选择题
9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|2x>1}，则( )
A．A∩(∁UB)＝∅ B．A∪B＝A
C．A⊆B D．B⊆A
答案 AC
解析 ∵A＝{x|x2－2x<0}＝(0,2)，
B＝{x|2x>1}＝(0，＋∞)，
∴A∩(∁UB)＝∅，A∪B＝B，A⊆B，
故AC正确，BD错误．
10．以下命题中是真命题的是( )
A．∃x∈R，使ex<x＋1成立
B．∀θ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋θ)都不是偶函数
C．“a，b∈R，a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件
D．“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件
答案 CD
解析 设f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1，
当x＝0时，函数f′(x)＝0，当x<0时，f′(x)<0，
当x>0时，f′(x)>0，
故在x＝0时函数f(x)取得最小值，f(0)＝0，
所以f(x)＝ex－x－1≥f(x)min＝f(0)＝0，
即∀x∈R，ex≥x＋1，故A错误；
当x＝时f(x)＝sin＝cos 2x，
故函数f(x)为偶函数，故B错误；
当a>b>0时，等价于a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0，
当0>a>b时，等价于－a2＋b2＝－(a＋b)(a－b)>0，
当a>0>b时，等价于a2＋b2>0，
反之同样成立，故C正确；
“x∈A∩B”⇒“x∈A”，“x∈A”⇏“x∈A∩B”，则“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件，故D正确．
11．(2022·莆田质检)已知直线l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)与圆C：x2＋y2＝1相切，则下列说法正确的是( )
A．ab≥ B．ab≤
C.＋≥4 D.2≤
答案 BCD
解析 因为直线l：ax＋by＋1＝0与圆C：x2＋y2＝1相切，
所以圆心C(0,0)到直线l的距离等于1，
即＝1，即a2＋b2＝1，且a>0，b>0，
因为a2＋b2≥2ab且a2＋b2＝1，
所以ab≤＝，即A错误，B正确；
因为a2＋b2＝1，
所以＋＝＋＝2＋＋
≥2＋2＝4，即C正确；
因为a2＋b2≥2ab且a2＋b2＝1，
所以2＝≤＝
(当且仅当a＝b时取等号)，即D正确．
12．已知3a＝2,5b＝3，则下列结论正确的是( )
A．a<b
B．a＋<b＋
C．a＋b<2ab
D．a＋ab<b＋ba
答案 AD
解析 因为3a＝2,5b＝3，则a＝log32，b＝log53.
对于A，∵23<32，则2<，从而0＝log31<a＝log32<
＝，
因为33>52，则3>，则＝<b＝log53<log55＝1，即0<a<<b<1，A正确；
对于B，－＝(a－b)＋＝，
因为0<a<<b<1，则a－b<0,0<ab<1，所以，a＋>b＋，B错误；
对于C，因为2ab＝2log32·log53＝2log52＝log54，
所以，a＋b－2ab＝log32＋log53－log54＝log32－log5>log3－log5＝0，
所以，a＋b>2ab，C错误；
对于D，构造函数f(x)＝，其中0<x<e，则f′(x)＝.
当0<x<e时，f′(x)>0，则函数f(x)在(0，e)上单调递增，因为0<a<b<1，则f(a)<f(b)，即<，可得ab<ba，所以，a＋ab<b＋ba，D正确．
三、填空题
13．已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，若集合B＝{x|x≤a}满足A⊆B，则实数a的取值范围为________．
答案 [2，＋∞)
解析 ∵A＝{x|－2≤x≤2}≠∅，A⊆B，
∴A与B的关系如图，
∴a≥2.
14．设p：实数x满足(x－3a)(x－a)<0，q：实数x满足≤0.当a<0时，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是________．
答案 [－2，－1)
解析 由≤0，得
解得－3≤x<－2，
即q：B＝{x|－3≤x<－2}，
因为a<0，由(x－3a)(x－a)<0，得3a<x<a，
即p：A＝{x|3a<x<a}，
若p是q的必要条件，则q⇒p，
所以B⊆A，
所以即－2≤a<－1.
15．下列命题中，真命题的序号是________．
①∃x∈R，sin x＋cos x＝；
②若p：<0，则綈p：≥0；
③lgx>lg y是>的充要条件；
④△ABC中，边a>b是sin A>sin B的充要条件；
⑤“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件．
答案 ④
解析 对①，∵sinx＋cos x＝sin≤，>，故①为假命题；
对②，命题p：<0，解得0<x<1，所以綈p：{x|x≤0或x≥1}，而≥0的解集为{x|x≤0或x>1}，故②为假命题；
对③，当x＝1，y＝0时，满足>，但lg x>lg y不成立，故③为假命题；
对④，根据正弦定理＝可得，边a>b是sin A>sin B的充要条件，故为真命题；
对⑤，满足函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数的a的取值范围为a≤2，故“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，故⑤为假命题．
16．一般地，把b－a称为区间(a，b)的“长度”．已知关于x的不等式x2－kx＋2k<0有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为________．
答案 [－1,0)∪(8,9]
解析 不等式x2－kx＋2k<0有实数解等价于x2－kx＋2k＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝(－k)2－8k>0，解得k<0或k>8，
设x2－kx＋2k＝0的两根分别为x1，x2，不妨令x1<x2，则x1＋x2＝k，x1x2＝2k，
由题意得x2－x1＝＝≤3，解得－1≤k≤9，结合k<0或k>8，所以实数k的取值范围为[－1,0)∪(8,9]．
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