§2.6 二次函数与幂函数
考试要求
1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．
知识梳理
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x＝－
顶点坐标
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上单调递减；
在上单调递增
在上单调递增；
在上单调递减
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝
是幂函数．( × )
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.( √ )
(3)二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞)．( × )
(4)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．( × )
教材改编题
1．已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(8)的值等于( )
A. B．4 C．8 D.
答案 D
解析 设幂函数f(x)＝xα，因为幂函数f(x)的图象经过点，所以f(5)＝5α＝，
解得α＝－1，所以f(x)＝x－1，则f(8)＝8－1＝.
2．已知函数f(x)＝－x2－4x＋5，则函数y＝f(x)的单调递增区间为( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，2]
C．[－2，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 A
解析 f(x)＝－x2－4x＋5＝－(x＋2)2＋9，故函数f(x)的对称轴为x＝－2，
又函数f(x)的图象开口向下，故函数的单调递增区间为(－∞，－2]．
3．函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1,2]的值域为( )
A．[－6,2] B．[－6,1]
C．[0,2] D．[0,1]
答案 A
解析 函数f(x)＝－2x2＋4x的对称轴为x＝1，
则f(x)在[－1,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，
∴f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6，
即f(x)的值域为[－6,2].
题型一 幂函数的图象与性质
例1 (1)若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则( )
A．－1<n<0<m<1 B．n<－1，0<m<1
C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1
答案 B
解析 由图象知，y＝xm在(0，＋∞)上单调递增，
所以m>0，
又y＝xm的图象增长得越来越慢，
所以m<1，
y＝xn在(0，＋∞)上单调递减，
所以n<0，
又当x>1时，y＝xn的图象在y＝x－1的下方，
所以n<－1.
综上，n<－1，0<m<1.
(2)(2023·德州模拟)幂函数f(x)＝(m2＋m－5)
在区间(0，＋∞)上单调递增，则f(3)等于( )
A．27 B．9 C. D.
答案 A
解析 由题意，得m2＋m－5＝1，
即m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3，
当m＝2时，可得函数f(x)＝x3，
此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；
当m＝－3时，可得f(x)＝x－2，
此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意，
即幂函数f(x)＝x3，则f(3)＝27.
思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
跟踪训练1 (1)已知幂函数
(p∈Z)的图象关于y轴对称，如图所示，则( )
A．p为奇数，且p>0
B．p为奇数，且p<0
C．p为偶数，且p>0
D．p为偶数，且p<0
答案 D
解析 因为函数
的图象关于y轴对称，
所以函数
为偶函数，即p为偶数，
又函数
的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
且在(0，＋∞)上单调递减，
所以<0，
即p<0.
(2)(多选)(2023·哈尔滨模拟)已知函数y＝
(m∈Z)为偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值可以为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 BC
解析 因为函数在区间(0，＋∞)上单调递减，
所以m2－5m＋4<0，解得1<m<4，
因为m∈Z，
所以m＝2或3，
当m＝2时，函数y＝x－2为偶函数，符合题意；
当m＝3时，函数y＝x－2为偶函数，符合题意，
综上，m＝2或m＝3.
题型二 二次函数的解析式
例2 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．
解 方法一 (利用“一般式”解题)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
所以所求二次函数的解析式为
f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二 (利用“顶点式”解题)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
因为f(2)＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为x＝＝，
所以m＝.
又根据题意，函数有最大值8，
所以n＝8，
所以f(x)＝a2＋8.
因为f(2)＝－1，所以a2＋8＝－1，
解得a＝－4，
所以f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
方法三 (利用“零点式”解题)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4.
故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
思维升华 求二次函数解析式的三个策略：
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．
跟踪训练2 已知二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的解析式为________．
答案 y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋
解析 因为二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，
所以可设二次函数为y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，
展开得，y＝ax2＋2ax－3a，
顶点的纵坐标为＝－4a，
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2，
所以|－4a|＝2，即a＝±，
所以二次函数的解析式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋.
题型三 二次函数的图象与性质
命题点1 二次函数的图象
例3 设abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
答案 D
解析 因为abc>0，
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，那么可知，
在A中，a<0，b<0，c<0，不符合题意；
B中，a<0，b>0，c>0，不符合题意；
C中，a>0，b>0，c<0，不符合题意；
D中，a>0，b<0，c<0，符合题意．
命题点2 二次函数的单调性与最值
例4 (2023·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.
(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；
(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
解 (1)当a>0时，
f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝，
所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足≥2，a>0，
解得0<a≤.
当a<0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝<0，
所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足a<0，
综上，a的取值范围是(－∞，0)∪.
(2)①当0<<1，即a>时，
f(x)在区间[1,2]上单调递增，
此时g(a)＝f(1)＝3a－2.
②当1≤≤2，即≤a≤时，
f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，
此时g(a)＝f ＝2a－－1.
③当>2，即0<a<时，
f(x)在区间[1,2]上单调递减，
此时g(a)＝f(2)＝6a－3，
综上所述，g(a)＝
思维升华 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
跟踪训练3 (1)(多选)(2022·茂名模拟)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A．2a＋b＝0
B．4a＋2b＋c<0
C．9a＋3b＋c<0
D．abc<0
答案 ACD
解析 由二次函数图象开口向下知，a<0，
对称轴为x＝－＝1，即2a＋b＝0，故b>0.
又因为f(0)＝c>0，所以abc<0.
f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，
f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0.
(2)(2022·镇江模拟)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2,2]，则b－a的取值范围是____．
答案 [2,4]
解析 解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，解得x＝0或x＝4，
解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，解得x＝2，
由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[－2,2]．
若函数f(x)在区间[a，b]上单调，
则[a，b]＝[0,2]或[a，b]＝[2,4]，此时b－a取得最小值2；
若函数f(x)在区间[a，b]上不单调，
且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0,4]，
所以b－a的最大值为4.
所以b－a的取值范围是[2,4]．
课时精练
1．已知p：f(x)是幂函数，q：f(x)的图象过点(0,0)，则p是q的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案 D
解析 f(x)＝x－2是幂函数，但其图象不过点(0,0)，故充分性不成立；
f(x)＝2x－1的图象过点(0,0)，但其不是幂函数，故必要性不成立．
所以p是q的既不充分也不必要条件．
2．(2023·保定检测)已知a＝
，b＝
，c＝
，则( )
A．b<a<c B．a<b<c
C．b<c<a D．c<a<b
答案 A
解析 由题意得b＝
＝a，
a＝
＝
<4<5＝
＝c，
所以b<a<c.
3．(2023·厦门模拟)函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是( )
答案 C
解析 若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A，D；
对于选项B，由直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B.
4．已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1,2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[0,3]
C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．[3，＋∞)
答案 C
解析 二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1，
∵对于任意x1，x2∈[－1,2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，
即f(x)在区间[－1,2]上是单调函数，
∴a－1≤－1或a－1≥2，
∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞)．
5．(多选)幂函数f(x)＝
在(0，＋∞)上单调递增，则以下说法正确的是( )
A．m＝3
B．函数f(x)在(－∞，0)上单调递增
C．函数f(x)是偶函数
D．函数f(x)的图象关于原点对称
答案 ABD
解析 因为幂函数f(x)＝
在(0，＋∞)上单调递增，
所以解得m＝3，
所以f(x)＝x3，
所以f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，
故f(x)＝x3为奇函数，函数图象关于原点对称，
所以f(x)在(－∞，0)上单调递增．
6．(多选)若二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a等于( )
A．－ B. C．－5 D．5
答案 BC
解析 显然a≠0，有f(x)＝a(x＋1)2－a＋1，
当a>0时，f(x)在[－2,3]上的最大值为f(3)＝15a＋1，
由15a＋1＝6，解得a＝，符合题意；
当a<0时，f(x)在[－2,3]上的最大值为f(－1)＝1－a，
由1－a＝6，解得a＝－5，符合题意，
所以a的值为或－5.
7．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝x2－4x＋3
解析 ∵f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，
∴f(x)图象的对称轴为直线x＝2，
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
∴f(x)＝0的两根为1和3，
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，
∵f(x)的图象过点(4,3)，
∴3a＝3，
∴a＝1，
∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
8．(2022·人大附中质检)已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[1，＋∞)，则＋的最小值为________．
答案 3
解析 因为二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[1，＋∞)，则a>0，
所以f(x)min＝＝＝1，
即ac－1＝a，可得a＝>0，则c>1，
所以＋＝c＋－1≥2－1＝3，
当且仅当c＝2时，等号成立，
因此＋的最小值为3.
9．已知幂函数f(x)＝(2m2－m－2)
(m∈R)为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(x)－2(a－1)x＋1在区间[0,4]上的最大值为9，求实数a的值．
解 (1)由幂函数可知2m2－m－2＝1，解得m＝－1或m＝，
当m＝－1时，f(x)＝x2，函数为偶函数，符合题意；
当m＝时，f(x)＝x7，函数为奇函数，不符合题意，
故f(x)的解析式为f(x)＝x2.
(2)由(1)得，g(x)＝f(x)－2(a－1)x＋1＝x2－2(a－1)x＋1.
函数的对称轴为x＝a－1，开口向上，f(0)＝1，f(4)＝17－8(a－1)，
由题意得，在区间[0,4]上，f(x)max＝f(4)＝17－8(a－1)＝9，解得a＝2，经检验a＝2符合题意，
所以实数a的值为2.
10．设二次函数f(x)满足：①当x∈R时，总有f(－1＋x)＝f(－1－x)；②函数f(x)的图象与x轴的两个交点为A，B，且|AB|＝4；③f(0)＝－.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若存在t∈R，只要x∈[1，m](m>1)，就有f(x＋t)≤x－1成立，求满足条件的实数m的最大值．
解 (1)由题意知，函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，且方程f(x)＝0的两根为－3和1，
设f(x)＝a(x＋3)(x－1)，
又f(0)＝－，则f(0)＝－3a＝－，解得a＝.
故f(x)＝x2＋x－.
(2)只要x∈[1，m](m>1)，就有f(x＋t)≤x－1，即x2＋2(t－1)x＋(t＋1)2≤0，
取x＝1，t2＋4t≤0，－4≤t≤0；
取x＝m，[m＋(t－1)]2≤－4t，即1－t－2≤m≤1－t＋2，
由－4≤t≤0得0≤－t≤4,1－t＋2≤1＋4＋2×＝9，
故当t＝－4时，m≤9；
当m＝9时，存在t＝－4，只要x∈[1,9]，
就有f(x－4)－(x－1)＝(x－1)(x－9)≤0成立，满足题意．
故满足条件的实数m的最大值为9.
11.已知幂函数y＝xa与y＝xb的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m(0<m<1)与y＝xa，y＝xb的图象分别交于A，B，C，D四点，且|AB|＝|CD|，则ma＋mb等于( )
A. B．1
C. D．2
答案 B
解析 由题意，|AB|＝|(m2)a－(m2)b|，|CD|＝|ma－mb|，根据图象可知b>1>a>0，当0<m<1时，(m2)a>(m2)b，ma>mb，因为|AB|＝|CD|，所以m2a－m2b＝(ma＋mb)(ma－mb)＝ma－mb，因为ma－mb>0，所以ma＋mb＝1.
12．设关于x的方程x2－2mx＋2－m＝0(m∈R)的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．
答案 7
解析 由题意有
且Δ＝4m2－4(2－m)≥0，
解得m≤－2或m≥1，
α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m2＋2m＋1，
令f(m)＝4m2＋2m＋1，
而f(m)图象的对称轴为m＝－，
且m≤－2或m≥1，
所以f(m)min＝f(1)＝7.
13．已知函数f(x)＝2ax2－2 022x－2 023，对任意t∈R，在区间[t－1，t＋1]上存在两个实数x1，x2，使|f(x1)－f(x2)|≥1成立，则a的取值范围是( )
A.
B．[－1,1]
C．(－∞，－1]∪{0}∪[1，＋∞)
D.∪{0}∪
答案 D
解析 存在两个实数x1，x2，使|f(x1)－f(x2)|≥1⇔f(x)max－f(x)min≥1，
当a＝0时，f(x)＝－2 022x－2023，f(t－1)－f(t＋1)＝2×2022>1，显然符合；
当a≠0时，f(x)＝2ax2－2022x－2 023与y＝2ax2的图象完全“全等”，
即可以通过平移完全重合．
因为t－1≤x≤t＋1且t∈R，即用一个区间宽度为2的任意区间去截取函数图象，
使得图象的最高点与最低点间的纵坐标之差大于等于1，
因此取纵坐标之差最小的状态为f(x)＝2ax2(－1≤x≤1)，
当a>0时，此时f(x)max－f(x)min＝2a－0≥1，
故a≥；
当a<0时，此时f(x)max－f(x)min＝0－2a≥1，
故a≤－，
综上，a的取值范围是∪{0}∪.
14．已知函数f(x)＝x2－4x＋1，设1≤x1<x2<x3<…<xn≤4，若|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xn－1)－f(xn)|≤M，则M的最小值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 函数f(x)＝x2－4x＋1在[1,2]上单调递减，在(2,4]上单调递增．
由绝对值的几何意义，
∴|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xn－1)－f(xn)|表示将函数f(x)在(x1，xn)上分成n－1段，取每段两端点函数值差的绝对值总和．
又根据f(x)的单调性知原式最大值为
|f(1)－f(2)|＋|f(2)－f(4)|＝f(1)－f(2)＋f(4)－f(2)＝5，
∴M≥5，则M的最小值为5.
