2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第3章 §3-4 函数中的构造问题[培优课]

§3.4　函数中的构造问题

函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．

题型一　导数型构造函数

命题点1　利用f(x)与x构造

例1　(2023·苏州质检)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝2^0.6·f(2^0.6)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝log₂·f ，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>b>c                                           B．c>b>a

C．a>c>b                                           D．c>a>b

答案　B

解析　因为函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是偶函数，

令g(x)＝xf(x)，则g(x)是奇函数，g′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，

由题意知，当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)<0成立，所以g(x)在(－∞，0]上单调递减，

又g(x)是奇函数，所以g(x)在R上单调递减，

因为2^0.6>1,0<ln 2<1，log₂＝－3<0，

所以log₂<0<ln 2<1<2^0.6，

又a＝g(2^0.6)，b＝g(ln 2)，c＝g，

所以c>b>a.

思维升华　(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xⁿf(x)；

(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.

跟踪训练1　(2023·重庆模拟)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)且f(1)＝0，则不等式f(x)<0的解集是(　　)

A．(－∞，1)                                     B．(－1,1)

C．(－∞，0)∪(0,1)                           D．(－1,0)∪(0,1)

答案　D

解析　令g(x)＝且x≠0，

则g′(x)＝，

又对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)，

即当x>0时，g′(x)>0，

所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，

由f(x)为偶函数，则g(－x)＝＝＝g(x)，所以g(x)也为偶函数，故g(x)在(－∞，0)上单调递减，

则g(－1)＝g(1)＝＝0，且f(x)<0等价于g(x)＝<＝g(1)，

所以x∈(－1,0)∪(0,1)．

命题点2　利用f(x)与e^x构造

例2　(2022·蚌埠质检)已知可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x∈R，都有f′(x)－f(x)<1，且f(0)＝2 022，则不等式f(x)＋1>2 023e^x的解集为(　　)

A．(－∞，0)                                     B．(0，＋∞)

C.                                       D．(－∞，1)

答案　A

解析　构造函数F(x)＝，

则F′(x)＝＝，因为f′(x)－f(x)<1，所以F′(x)<0恒成立，故F(x)＝在R上单调递减，f(x)＋1>2 023e^x可变形为>2 023，又f(0)＝2 022，所以F(0)＝＝2 023，

所以F(x)>F(0)，解得x<0.

思维升华　(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝e^nxf(x)；

(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.

跟踪训练2　(2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e^3－x的解集为________．

答案　(3，＋∞)

解析　设F(x)＝f(x)·e^x，则F′(x)＝f′(x)·e^x＋f(x)·e^x＝e^x[f(x)＋f′(x)]>0，

∴F(x)在R上单调递增．

又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e³＝3e³.

∵f(x)>3e^3－x等价于f(x)·e^x>3e³，

即F(x)>F(3)，

∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞)．

命题点3　利用f(x)与sinx，cos x构造

例3　已知偶函数f(x)的定义域为，其导函数为f′(x)，当0<x<时，有f′(x)cosx＋f(x)sin x<0成立，则关于x的不等式f(x)<2f cos x的解集为(　　)

A.∪                        B.

C.                                     D.

答案　A

解析　因为偶函数f(x)的定义域为，

所以设g(x)＝，

则g(－x)＝＝，

即g(x)也是偶函数．

当0<x<时，

根据题意g′(x)＝<0，

则g(x)在上单调递减，且为偶函数，

则g(x)在上单调递增．

所以f(x)<2f cos x⇔<⇔g(x)<g，

所以

解得x∈∪.

思维升华　函数f(x)与sinx，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式

F(x)＝f(x)sin x，

F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x；

F(x)＝，

F′(x)＝；

F(x)＝f(x)cos x，

F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x；

F(x)＝，

F′(x)＝.

跟踪训练3　已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)，且当x∈(0，＋∞)时，f′(x)sinx＋f(x)cos x<0，若a＝f ，b＝－f ，则a与b的大小关系为_____．(用“<”连接)

答案　a<b

解析　设φ(x)＝f(x)·sin x，

则φ′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x，

∴x∈(0，＋∞)时，φ′(x)<0，

即φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，

又f(x)为奇函数，∴φ(x)为偶函数，

∴φ＝φ>φ，

即f ·sin>f ·sin ，

即－f >f ，

即f <－f ，∴a<b.

题型二　同构法构造函数

例4　(1)(2020·全国Ⅰ)若2^a＋log₂a＝4^b＋2log₄b，则(　　)

A．a>2b                                            B．a<2b

C．a>b²                                             D．a<b²

答案　B

解析　由指数和对数的运算性质可得2^a＋log₂a＝4^b＋2log₄b＝2^2b＋log₂b.

令f(x)＝2^x＋log₂x，

则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

又∵2^2b＋log₂b<2^2b＋log₂b＋1＝2^2b＋log₂2b，

∴2^a＋log₂a<2^2b＋log₂2b，

即f(a)<f(2b)，∴a<2b.

(2)(2023·武汉模拟)已知a>0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式e^x－x≤x^a－aln x成立，则a的最小值为________．

答案　e

解析　∵x^a＝

＝e^alnx，∴不等式即为e^x－x≤e^alnx－aln x，

∵a>0且x>1，∴aln x>0，设y＝e^x－x，则y′＝e^x－1>0，故y＝e^x－x在(1，＋∞)上单调递增，

∴x≤aln x，即a≥，

即存在x∈(1，＋∞)，使a≥，∴a≥_min，

设f(x)＝(x>1)，则f′(x)＝，当x∈(1，e)时，f′(x)<0；

当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，

∴f(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，

∴f(x)_min＝f(e)＝e，∴a≥e.

故a的最小值为e.

思维升华　指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成ln e^x然后构造函数；另一种是将x变成e^{ln x}然后构造函数．

跟踪训练4　(1)(多选)(2023·泰州模拟)已知α，β均为锐角，且α＋β－>sin β－cos α，则(　　)

A．sin α>sin β                                    B．cos α>cos β

C．cos α<sin β                                    D．sin α>cos β

答案　CD

解析　∵α＋β－>sin β－cosα，

∴β－sinβ>－α－sin，

令f(x)＝x－sinx，x∈，f′(x)＝1－cosx>0，

∴f(x)在上单调递增，

∴β>－α，

∵α，β均为锐角，

∴cosβ<cos，sinβ>sin，

∴cosβ<sin α，sin β>cos α.

(2)(2023·南京模拟)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若ae^a<blnb，则(　　)

A．ab>e                                             B．b>e^a

C．ab<e                                             D．b<e^a

答案　B

解析　由已知ae^a<blnb，

则e^aln e^a<bln b.

设f(x)＝xln x，

则f(e^a)<f(b)．

因为a>0，则bln b>0，则b>1.

当x>1时，f′(x)＝lnx＋1>0，

则f(x)在(1，＋∞)上单调递增，

所以e^a<b.

课时精练

1．(2023·株州模拟)已知a＝，b＝，c＝，则(　　)

A．a<b<c                                           B．c<a<b

C．b<a<c                                           D．c<b<a

答案　B

解析　设f(x)＝，则a＝f(e)，b＝f(2)，c＝f(3)，又f′(x)＝，于是当x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，故f(x)＝在(，＋∞)上单调递减，注意到<＝2<e<3，则有f(3)<f(e)<f(2)，即c<a<b.

2．若2^x－2^y<3^－x－3^－y，则(　　)

A．ln(y－x＋1)>0                               B．ln(y－x＋1)<0

C．ln|x－y|>0                                     D．ln|x－y|<0

答案　A

解析　由2^x－2^y<3^－x－3^－y，

得2^x－3^－x<2^y－3^－y，

令f(t)＝2^t－3^－t，

∵y＝2^t为R上的增函数，y＝3^－t为R上的减函数，

∴f(t)为R上的增函数，

∴x<y，

∵y－x>0，∴y－x＋1>1，∴ln(y－x＋1)>0，则A正确，B错误；

∵|x－y|与1的大小不确定，故C，D无法确定．

3．(2023·济南模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f′(x)－2x>0，且f(1)＝3，则f(x)>x²＋2的解集是(　　)

A．(－1,0)∪(1，＋∞)                       B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(－1,0)∪(0,1)                               D．(－∞，－1)∪(0,1)

答案　B

解析　令g(x)＝f(x)－x²，

因为f(x)是偶函数，

则g(－x)＝f(－x)－(－x)²＝g(x)，

所以函数g(x)也是偶函数，

g′(x)＝f′(x)－2x，

因为当x≥0时，f′(x)－2x>0，

所以当x≥0时，g′(x)＝f′(x)－2x>0，

所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，

不等式f(x)>x²＋2即为不等式g(x)>2，

由f(1)＝3，得g(1)＝2，

所以g(x)>g(1)，

所以|x|>1，解得x>1或x<－1，

所以f(x)>x²＋2的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

4．(2023·常州模拟)已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且当x>0时，f′(x)sinx＋f(x)cos x>0，则下列说法正确的是(　　)

A．f <－f <－f 

B．－f <f <－f 

C．－f <－f <f 

D．－f <f <－f 

答案　D

解析　由f(x－1)的图象关于点(1,0)对称可知，f(x)的图象关于点(0,0)对称，则f(x)为奇函数，

令g(x)＝f(x)sin x，则g(x)为偶函数，

又x>0时，f′(x)sinx＋f(x)cos x>0，即[f(x)sin x]′>0，

则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，

则有g＝g<g<g，

即－f <f <－f ，

即－f <f <－f .

5．(多选)(2023·开封模拟)已知e是自然对数的底数，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)是f(x)的导函数，且＋ln x·f′(x)>0，则(　　)

A．f ＋f(e)>0                                 B．f <0

C．f(e)>0                                           D．f(1)＝0

答案　AC

解析　令函数g(x)＝lnx·f(x)，

则g′(x)＝＋lnx·f′(x)>0，

所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，

又g(1)＝0，

所以g(e)＝f(e)>0，g＝－f <0，

所以f ＋f(e)>0，f >0，f(1)的大小不确定．

6．若ln m－m＋2m²＝ln n－n＋2e²n²＋1，则(　　)

A.>e                                                B.<e

C．m－n>e                                         D．m－n<e

答案　A

解析　由题意可知，m>0，n>0，则ln m－m＋2m²＝lnn－n＋2e²n²＋1>ln(en)－en＋2e²n²，

构造函数f(x)＝2x²－x＋ln x，其中x>0，则f′(x)＝4x＋－1≥2－1＝3>0，

当且仅当x＝时，等号成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

由lnm－m＋2m²>ln(en)－en＋2e²n²可得f(m)>f(en)，所以m>en>0，则>e，

故A对，B错，无法判断C，D选项的正误．

7．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)<f′(x)<0，则(　　)

A．ef(2)>f(1)，f(2)>ef(1)

B．ef(2)>f(1)，f(2)<ef(1)

C．ef(2)<f(1)，f(2)>ef(1)

D．ef(2)<f(1)，f(2)<ef(1)

答案　C

解析　由题意可知，函数f(x)在R上单调递减，f(x)＋f′(x)<0，f′(x)－f(x)>0.

构造函数h(x)＝e^xf(x)，定义域为R，

则h′(x)＝e^xf(x)＋f′(x)e^x

＝e^x[f(x)＋f′(x)]<0，

所以h(x)在R上单调递减，

所以h(2)<h(1)，

所以e²f(2)<ef(1)，

即ef(2)<f(1)，故A，B错误；

构造函数g(x)＝，定义域为R，

则g′(x)＝＝>0，

所以g(x)在R上单调递增，

所以g(2)>g(1)，所以>，

即f(2)>ef(1)，故D错误．

8．(2022·龙岩质检)已知m>0，n∈R，若log₂m＋2m＝6,2^n＋1＋n＝6，则等于(　　)

A.  B．1  C.   D．2

答案　B

解析　由题意得log₂m＋2m＝2^n＋1＋n，

log₂m＋2m＝2×2ⁿ＋n＝log₂2ⁿ＋2×2ⁿ，

令g(x)＝log₂x＋2x(x>0)，

则g′(x)＝＋2>0，

所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，

因为g(m)＝g(2ⁿ)，所以m＝2ⁿ，所以＝1.

9．已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<－xf′(x)，则不等式f(x＋1)>(x－1)f(x²－1)的解集是________．

答案　(2，＋∞)

解析　根据题意，构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，

则y′＝f(x)＋xf′(x)<0，

所以函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减．

又因为f(x＋1)>(x－1)f(x²－1)，

所以(x＋1)f(x＋1)>(x²－1)f(x²－1)，

所以0<x＋1<x²－1，解得x>2，

所以不等式f(x＋1)>(x－1)f(x²－1)的解集是(2，＋∞)．

10．(2022·渭南模拟)设实数λ>0，对任意的x>1，不等式λe^λx≥lnx恒成立，则λ的取值范围为________．

答案　λ≥

解析　由题意，得e^λx·λx≥xln x＝e^lnx·ln x，

令f(t)＝t·e^t，t∈(0，＋∞)，

则f′(t)＝(t＋1)·e^t>0，

所以f(t)在(0，＋∞)上单调递增，

又f(λx)≥f(ln x)，

即当x∈(1，＋∞)时，λx≥ln x，

即λ≥恒成立，

令g(x)＝，x∈(1，＋∞)，

则g′(x)＝，

所以在(1，e)上，g′(x)>0，则g(x)单调递增；

在(e，＋∞)上，g′(x)<0，则g(x)单调递减；

所以g(x)≤g(e)＝，故λ≥.