考试要求 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上,正切函数在上的性质.
知识梳理
1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),,(π,0),,(2π,0).
(2)在余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),,(π,-1),,(2π,1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 | y=sin x | y=cos x | y=tan x |
图象 | |||
定义域 | R | R | {x|x≠kπ+} |
值域 | [-1,1] | [-1,1] | R |
周期性 | 2π | 2π | π |
奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 |
单调递增区间 | [2kπ-π,2kπ] | ||
单调递减区间 | [2kπ,2kπ+π] | ||
对称中心 | (kπ,0) | ||
对称轴方程 | x=kπ+ | x=kπ |
常用结论
1.对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期.
2.奇偶性
若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z).
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y=cosx在第一、二象限内单调递减.( × )
(2)若非零常数T是函数f(x)的周期,则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期.( √ )
(3)函数y=sin x图象的对称轴方程为x=2kπ+(k∈Z).( × )
(4)函数y=tan x在整个定义域上是增函数.( × )
教材改编题
1.若函数y=2sin 2x-1的最小正周期为T,最大值为A,则( )
A.T=π,A=1 B.T=2π,A=1
C.T=π,A=2 D.T=2π,A=2
答案 A
2.函数y=-tan的单调递减区间为________.
答案 (k∈Z)
解析 由-+kπ<2x-<+kπ(k∈Z),
得+<x<+(k∈Z),
所以y=-tan的单调递减区间为(k∈Z).
3.函数y=3-2cos的最大值为________,此时x=________.
答案 5 +2kπ(k∈Z)
解析 函数y=3-2cos的最大值为3+2=5,此时x+=π+2kπ(k∈Z),即x=+2kπ(k∈Z).
题型一 三角函数的定义域和值域
例1 (1)函数y=的定义域为( )
A.
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.R
答案 C
解析 由cos x-≥0,得cos x≥,
∴2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.
(2)函数f(x)=sin-3cos x的最小值为________.
答案 -4
解析 ∵f(x)=sin-3cosx=-cos 2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+1=-22+,-1≤cos x≤1,∴当cosx=1时,f(x)有最小值-4.
(3)函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为________.
答案
解析 设t=sinx-cos x,则t2=sin2x+cos2x-2sinx·cos x,∴sinxcos x=,
且-≤t≤.
∴y=-+t+=-(t-1)2+1,t∈[-,].
当t=1时,ymax=1;
当t=-时,ymin=-.
∴函数y的值域为.
思维升华 三角函数值域的不同求法
(1)把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx+φ)的形式求值域.
(2)把sinx或cos x看作一个整体,转换成二次函数求值域.
(3)利用sin x±cos x和sinxcos x的关系转换成二次函数求值域.
跟踪训练1 (1)(2021·北京)函数f(x)=cos x-cos 2x,试判断函数的奇偶性及最大值( )
A.奇函数,最大值为2 B.偶函数,最大值为2
C.奇函数,最大值为 D.偶函数,最大值为
答案 D
解析 由题意,
f(-x)=cos (-x)-cos (-2x)
=cosx-cos 2x=f(x),
所以该函数为偶函数,
又f(x)=cos x-cos 2x=-2cos2x+cosx+1=-22+,
所以当cos x=时,f(x)取最大值.
(2)函数y=lg sin x+的定义域为________________.
答案
解析 要使函数有意义,则有
即解得(k∈Z),
所以2kπ<x≤+2kπ,k∈Z.所以函数y的定义域为.
题型二 三角函数的周期性与对称性
例2 (1)(2023·武汉模拟)已知函数f(x)=3sin,则下列说法正确的是( )
A.图象关于点对称
B.图象关于点对称
C.图象关于直线x=对称
D.图象关于直线x=对称
答案 C
解析 由题可得,设2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z,所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z).
设2x+=kπ+,k∈Z,解得x=+,k∈Z,所以函数f(x)的对称轴为x=+(k∈Z),通过对比选项可知,f(x)的图象关于直线x=对称.
(2)函数f(x)=3sin+1,φ∈(0,π),且f(x)为偶函数,则φ=________,f(x)图象的对称中心为________.
答案 ,k∈Z
解析 若f(x)=3sin+1为偶函数,
则-+φ=kπ+,k∈Z,
即φ=+kπ,k∈Z,
又∵φ∈(0,π),
∴φ=.
∴f(x)=3sin+1=3cos 2x+1,
由2x=+kπ,k∈Z得x=+,k∈Z,
∴f(x)图象的对称中心为,k∈Z.
思维升华 (1)奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acos ωx的形式.
(2)周期的计算方法:利用函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(ω>0)的周期为,函数y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期为求解.
跟踪训练2 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π,且y=f(x)的图象关于点中心对称,则 f 等于( )
A.1 B. C. D.3
答案 A
解析 因为<T<π,所以<<π,解得2<ω<3.
因为y=f(x)的图象关于点中心对称,所以b=2,且sin+b=2,即sin=0,所以ω+=kπ(k∈Z),
又2<ω<3,所以<ω+<,
所以ω+=4π,解得ω=,
所以f(x)=sin+2,
所以f =sin+2=sin +2=1.故选A.
(2)(多选)(2023·苏州模拟)已知函数f(x)=sin,则下列结论正确的是( )
A.f(x)的最大值为
B.f(x)的最小正周期为π
C.f 为奇函数
D.f(x)的图象关于直线x=对称
答案 ABD
解析 因为函数f(x)=sin,
所以f(x)的最大值为,A正确;
最小正周期T==π,B正确;
f =sin=sin=-cos 2x为偶函数,C错误;
f(x)的对称轴满足2x-=+kπ,k∈Z,当k=1时,x=,故D正确.
题型三 三角函数的单调性
命题点1 求三角函数的单调区间
例3 函数f(x)=sin的单调递减区间为________.
答案 ,k∈Z
解析 f(x)=sin的单调递减区间是f(x)=sin的单调递增区间.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
故所给函数的单调递减区间为,k∈Z.
延伸探究 若函数不变,求在[0,π]上的单调递减区间.
解 令A=,k∈Z,
B=[0,π],
∴A∩B=∪,
∴f(x)在[0,π]上的单调递减区间为和.
命题点2 根据单调性求参数
例4 (1)(2022·淄博模拟)若函数f(x)=cos在区间[-a,a]上单调递增,则实数a的最大值为( )
A. B. C. D. π
答案 A
解析 函数f(x)=cos的单调递增区间为(k∈Z),而函数f(x)又在[-a,a]上单调递增,所以⇒a≤,于是0<a≤,即a的最大值为.
(2)(2023·晋中模拟)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),且在上单调递增,则满足条件的ω的最大值为________.
答案
解析 f(x)=sinωx+cos ωx=2sin(ω>0).
由2kπ-≤ωx+≤2kπ+,k∈Z,得-≤x≤+,k∈Z,
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
由题知,⊆,
∴
∴6k-≤ω≤4k+,k∈Z.∵ω>0,∴当k=0时,-≤ω≤,
∴0<ω≤;
当k=1时,≤ω≤;
当k≥2,k∈Z时,ω∈∅,
∴ωmax=.
思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,可先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.
(2)已知三角函数的单调区间求参数
先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.
跟踪训练3 (1)(2022·北京)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则( )
A.f(x)在上单调递减
B.f(x)在上单调递增
C.f(x)在上单调递减
D.f(x)在上单调递增
答案 C
解析 依题意可知f(x)=cos2x-sin2x=cos 2x.
对于A选项,因为x∈,所以2x∈,函数f(x)=cos 2x在上单调递增,所以A选项不正确;
对于B选项,因为x∈,所以2x∈,函数f(x)=cos 2x在上不单调,所以B选项不正确;
对于C选项,因为x∈,所以2x∈,函数f(x)=cos 2x在上单调递减,所以C选项正确;
对于D选项,因为x∈,所以2x∈,函数f(x)=cos 2x在上不单调,所以D选项不正确.故选C.
(2)已知函数f(x)=sin(ω>0),则“函数f(x)在上单调递增”是“0<ω<2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵x∈,∴ω-≤ωx-≤ω-,
由于函数f(x)在上单调递增,
∴(k∈Z),
解得(k∈Z),
故k只能取0,即0<ω≤1,
∴“函数f(x)在上单调递增”是“0<ω<2”的充分不必要条件.
1.函数f(x)=-2tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 由2x+≠kπ+,k∈Z,得x≠+(k∈Z).
2.(2023·赣州模拟)已知f(x)=sin2-,则f(x)是( )
A.奇函数且最小正周期为π
B.偶函数且最小正周期为π
C.奇函数且最小正周期为2π
D.偶函数且最小正周期为2π
答案 A
解析 f(x)=sin2-=-=sin 2x,故f(x)为奇函数,且最小正周期为T==π.
3.若函数y=cos(ω>0)两对称中心间的最小距离为,则ω等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 A
解析 因为函数y=cos(ω>0)两对称中心间的最小距离为,
所以=,所以T=π,所以T==π,解得ω=1.
4.(2023·广州模拟)如果函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于点对称,则|φ|的最小值是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 根据题意,sin=0,
即-+φ=kπ,k∈Z,
解得φ=kπ+,k∈Z,
当k=-1时,|φ|取得最小值.
5.(多选)(2022·海口模拟)已知函数f(x)=sin x-cos x,则下列结论中正确的是( )
A.f(x)的最大值为
B.f(x)在区间上单调递增
C.f(x)的图象关于点对称
D.f(x)的最小正周期为π
答案 AB
解析 f(x)=sinx-cos x=sin,
对于A,f(x)max=,A正确;
对于B,当x∈时,x-∈,
由正弦函数在上单调递增可知f(x)在上单调递增,B正确;
对于C,当x=时,x-=,则f(x)关于直线x=成轴对称,C错误;
对于D,f(x)的最小正周期T=2π,D错误.
6.(多选)(2023·汕头模拟)对于函数f(x)=|sin x|+cos 2x,下列结论正确的是( )
A.f(x)的值域为
B.f(x)在上单调递增
C.f(x)的图象不关于直线x=对称
D.π是f(x)的一个周期
答案 ACD
解析 f(x+π)=|sin(x+π)|+cos 2(x+π)=|sinx|+cos 2x=f(x),
所以π是函数f(x)的一个周期,故D正确;
对于A,因为f(x)的一个周期为π,令x∈[0,π],此时sin x≥0,
所以f(x)=sin x+1-2sin2x,
令t=sin x,g(t)=-2t2+t+1=-22+,t∈[0,1],可知其值域为,故A正确;
对于B,由A可知,g(t)在上单调递增,在上单调递减,
因为t=sin x,t∈[0,1],
所以f(x)在上不单调,故B不正确;
对于C,因为f(0)=1,f =0,
所以f(0)≠f ,
所以f(x)的图象不关于直线x=对称,故C正确.
7.(2022·汕头模拟)请写出一个最小正周期为π,且在(0,1)上单调递增的函数f(x)=________.
答案 tanx(答案不唯一)
解析 根据函数最小正周期为π,可构造正弦型、余弦型或者正切型函数,再结合在(0,1)上单调递增,构造即可,
如f(x)=tan x满足题意.
8.(2023·吉林模拟)已知函数f(x)=sin(0≤φ≤π)在上单调递减,则φ的取值范围是________.
答案 ≤φ≤π
解析 当x∈时,x+φ∈,
又函数f(x)=sin(0≤φ≤π)在上单调递减,
所以x+φ∈⊆,
所以解得≤φ≤π.
9.已知函数f(x)=cos xsin x+sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
解 (1)f(x)=cos xsin x+sin2x=sin 2x-cos 2x+=sin+,
∴函数f(x)的最小正周期为=π,
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,则-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
∴函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)∵x∈,∴2x-∈,
则sin∈[-1,1],∴f(x)∈,
∴函数f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.
10.(2022·北京模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),再从条件①,条件②,条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件,使f(x)的解析式唯一确定.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=f(x)+f ,求g(x)在区间上的最大值.
条件①:f(x)的最小正周期为π;
条件②:f(x)为奇函数;
条件③:f(x)图象的一条对称轴为直线x=.
注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.
解 (1)选择条件①②:
由条件①及已知得T==π,所以ω=2.
由条件②f(0)=0,即sin φ=0,解得φ=kπ(k∈Z).
因为|φ|<,所以φ=0,所以f(x)=sin 2x.经检验φ=0符合题意.
选择条件①③:
由条件①及已知得T==π,所以ω=2.
由条件③得2×+φ=kπ+(k∈Z),解得φ=kπ(k∈Z).
因为|φ|<,所以φ=0.所以f(x)=sin 2x.
(2)由题意得g(x)=sin 2x+sin,
化简得g(x)=sin 2x+cos 2x=sin.因为0≤x≤,所以≤2x+≤,
所以当2x+=,
即x=时,g(x)取最大值.
11.函数f(x)=sin(ωx+φ),在区间(0,1)上不可能( )
A.单调递增 B.单调递减
C.有最大值 D.有最小值
答案 B
解析 当x∈(0,1)时,因为ω>0,所以0<ωx<ω,
因为-<φ<,所以-<ωx+φ<+ω,
令ωx+φ=t,所以y=sint,
当-+2kπ≤t≤+2kπ,k∈Z时,y=sin t单调递增,
故f(x)在(0,1)上不可能单调递减.
12.(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称,则( )
A.f(x)在区间上单调递减
B.f(x)在区间上有两个极值点
C.直线x=是曲线y=f(x)的对称轴
D.直线y=-x是曲线y=f(x)的切线
答案 AD
解析 因为函数f(x)的图象关于点中心对称,所以sin=0,可得+φ=kπ(k∈Z),结合0<φ<π,得φ=,所以f(x)=sin.
对于A,当x∈时,2x+∈,所以函数f(x)在区间上单调递减,故A正确;
对于B,当x∈时,2x+∈,所以函数f(x)在区间上只有一个极值点,故B不正确;
对于C,因为f =sin=sin 3π=0,所以直线x=不是曲线y=f(x)的对称轴,故C不正确;
对于D,因为f′(x)=2cos,若直线y=-x为曲线y=f(x)的切线,
则由2cos=-1,得2x+=2kπ+或2x+=2kπ+(k∈Z),
所以x=kπ或x=kπ+(k∈Z).
当x=kπ(k∈Z)时,f(x)=,
则由=-kπ(k∈Z),解得k=0;
当x=kπ+(k∈Z)时,f(x)=-,
方程-=-kπ-(k∈Z)无解.
综上所述,直线y=-x为曲线y=f(x)的切线,故D正确.
13.(2023·福州模拟)已知三角函数f(x)满足:①f(3-x)=-f(x);②f(x)=f(1-x);③函数f(x)在上单调递减.写出一个同时具有上述性质①②③的函数f(x)=________________.
答案 2sin(答案不唯一)
解析 对于①,若f(3-x)=-f(x),则f(x)的图象关于点中心对称;
对于②,若f(x)=f(1-x),则f(x)的图象关于直线x=对称;
设f(x)=2sin(ωx+φ),则T=4×=4,ω=,
又f(x)的图象关于直线x=对称,且函数f(x)在上单调递减,
则+φ=+2kπ,k∈Z,得φ=+2kπ,k∈Z.
所以可令f(x)=2sin,答案不唯一.
14.(2023·唐山模拟)已知sinx+cosy=,则sin x-sin2y的最大值为________.
答案
解析 ∵sin x+cosy=,sinx∈[-1,1],
∴sinx=-cosy∈[-1,1],
∴cosy∈,
即cosy∈,
∵sinx-sin2y=-cosy-(1-cos2y)
=cos2y-cosy-
=2-1,
又cosy∈,
利用二次函数的性质知,当cos y=-时,
(sin x-sin2y)max=2-1=.
15.已知函数f(x)=+3sin πx,则函数f(x)在[-1,3]上的所有零点的和为( )
A.2 B.4 C.2π D.4π
答案 B
解析 令f(x)=+3sin πx=0,
则=-3sin πx,
所以f(x)的零点就是函数y=与函数y=-3sin πx图象交点的横坐标,
因为y=的图象关于点(1,0)对称,函数y=-3sin πx的周期为2,其图象关于点(1,0)对称,两函数图象如图所示,
共有4个交点,这4个点关于点(1,0)对称,
所以其横坐标的和为4,
所以函数f(x)在[-1,3]上的所有零点的和为4.
16.(2023·沈阳模拟)已知函数f(x)=sin x+|cos x|,写出函数f(x)的一个单调递增区间________;当x∈[0,a]时,函数f(x)的值域为[1,2],则a的取值范围是________.
答案
解析 当x∈,k∈Z时,
f(x)=sinx+cos x=2sin,
当x∈,k∈Z时,
f(x)=sinx-cos x=2sin,
令-≤x+≤,则-≤x≤,
所以函数f(x)的一个单调递增区间为.
f(x)=
则函数f(x)在上单调递增,在上单调递减,
则当x∈时,f(x)∈[1,2],且f(0)=,f =1,
令-≤x-≤,则-≤x≤,
所以函数f(x)在上单调递增,此时f(x)∈[1,2].
令≤x-≤,则≤x≤,
所以函数f(x)在上单调递减,
当x∈时,令f(x)=1,则x=,
因为当x∈[0,a]时,函数f(x)的值域为[1,2],
所以≤a≤.
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