§4.8 正弦定理、余弦定理
考试要求
1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.
知识梳理
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
===2R
a2=b2+c2-2bccos A;
b2=c2+a2-2cacos B;
c2=a2+b2-2abcos C
变形
(1)a=2Rsin A,
b=2Rsin B,
c=2Rsin C;
(2)sin A=,
sin B=,sin C=;
(3)a∶b∶c
=sin A∶sin B∶sin C
cos A=;
cos B=;
cos C=
2.三角形解的判断
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a=bsin A
bsin A< a<b
a≥b
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解
3.三角形中常用的面积公式
(1)S=aha(ha表示边a上的高);
(2)S=absin C=acsin B=bcsin A;
(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).
常用结论
在△ABC中,常有以下结论:
(1)∠A+∠B+∠C=π.
(2)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
(3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B,cos A<cos B.
(4)sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;tan(A+B)=-tan C;sin =cos ;cos =sin .
(5)三角形中的射影定理
在△ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.
(6)三角形中的面积S=.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( × )
(2)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B.( √ )
(3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( × )
(4)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形.( × )
教材改编题
1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 在△ABC中,
设AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,
由余弦定理得cos∠BAC===-,
因为∠BAC为△ABC的内角,
所以∠BAC=.
2.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为4,a=2,B=30°,则c等于( )
A.8 B.4
C. D.
答案 A
解析 由S△ABC=acsin B=×2c×=4,得c=8.
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=30°,b=,c=2,则C= .
答案 45°或135°
解析 由正弦定理得sin C===,
因为c>b,B=30°,
所以C=45°或C=135°.
题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1 (12分)(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=.
(1)若C=,求B;[切入点:二倍角公式化简]
(2)求的最小值.[关键点:找到角B与角C,A的关系]
思维升华 解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,则考虑用正弦定理,以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.
跟踪训练1 (2022·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A).
(1)证明:2a2=b2+c2;
(2)若a=5,cos A=,求△ABC的周长.
(1)证明 方法一
由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),
可得sin Csin Acos B-sinCcos Asin B
=sinBsin Ccos A-sin Bcos CsinA,
结合正弦定理==,
可得accos B-bccos A=bccos A-abcos C,
即accos B+abcos C=2bccosA(*).
由余弦定理可得
accos B=,
abcos C=,
2bccos A=b2+c2-a2,
将上述三式代入(*)式整理,
得2a2=b2+c2.
方法二 因为A+B+C=π,
所以sin Csin(A-B)=sin(A+B)sin(A-B)
=sin2Acos2B-cos2Asin2B
=sin2A(1-sin2B)-(1-sin2A)sin2B
=sin2A-sin2B,
同理有sin Bsin(C-A)=sin(C+A)sin(C-A)=sin2C-sin2A.
又sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),
所以sin2A-sin2B=sin2C-sin2A,
即2sin2A=sin2B+sin2C,
故由正弦定理可得2a2=b2+c2.
(2)解 由(1)及a2=b2+c2-2bccos A得,a2=2bccos A,所以2bc=31.
因为b2+c2=2a2=50,
所以(b+c)2=b2+c2+2bc=81,
得b+c=9,
所以△ABC的周长l=a+b+c=14.
题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1 三角形的形状判断
例2 (1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c-acos B=(2a-b)cos A,则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
答案 D
解析 因为c-acos B=(2a-b)cos A,
C=π-(A+B),
所以由正弦定理得sin C-sin Acos B
=2sinAcos A-sin Bcos A,
所以sin Acos B+cosAsin B-sin Acos B
=2sinAcos A-sin Bcos A,
所以cos A(sin B-sinA)=0,
所以cos A=0或sinB=sin A,
所以A=或B=A或B=π-A(舍去),
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
(2)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,=sin2,则△ABC的形状为( )
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
答案 A
解析 由cos B=1-2sin2,
得sin2=,所以=,
即cosB=.
方法一 由余弦定理得=,
即a2+c2-b2=2a2,
所以a2+b2=c2.
所以△ABC为直角三角形,但无法判断两直角边是否相等.
方法二 由正弦定理得cos B=,
又sinA=sin(B+C)=sin Bcos C+cosBsin C,
所以cos Bsin C=sinBcos C+cos Bsin C,
即sinBcos C=0,又sin B≠0,
所以cos C=0,又角C为△ABC的内角,
所以C=,所以△ABC为直角三角形,但无法判断两直角边是否相等.
延伸探究 将本例(2)中的条件“=sin2”改为“=,(b+c+a)(b+c-a)=3bc”,试判断△ABC的形状.
解 因为=,所以由正弦定理得=,所以b=c.
又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,
所以b2+c2-a2=bc,
所以由余弦定理得cos A===.
因为A∈(0,π),所以A=,
所以△ABC是等边三角形.
思维升华 判断三角形形状的两种思路
(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.
(2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=π这个结论.
命题点2 三角形的面积
例3 (2022·浙江)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
已知4a=c,cos C=.
(1)求sin A的值;
(2)若b=11,求△ABC的面积.
解 (1)由正弦定理=,
得sinA=.
因为cos C=,所以sin C=,
又=,所以sin A==.
(2)由(1)知sinA=,
因为a=<c,所以0<A<,
所以cos A=,
所以sin B=sin(A+C)=sin Acos C+sinCcos A=×+×=.
因为=,即=,
所以c=4,
所以S△ABC=bcsin A=×11×4×=22.
思维升华 三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S=absin C=acsin B=bcsin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
命题点3 与平面几何有关的问题
例4 (2023·厦门模拟)如图,已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,b(1+cos C)=csin∠ABC且△ABC的外接圆面积为.
(1)求边c的长;
(2)若a=5,延长CB至M,使得cos∠AMC=,求BM.
解 (1)设△ABC的外接圆半径为R,由题意πR2=,解得R=.
由题意及正弦定理可得sin∠ABC(1+cosC)
=sin Csin∠ABC,
因为sin∠ABC≠0,所以1+cos C=sin C,
即2sin=1,
因为0<C<π,所以C-∈,故C-=,即C=.
故c=2Rsin C=2××=7.
(2)因为a=5,c=7,C=,故cos C==,得b2-5b-24=0,
解得b=8(b=-3舍去).
在△ABC中,由余弦定理可得cos∠ABC==,
所以sin∠ABC=.
由cos∠AMC=得sin∠AMC=.
故sin∠BAM=sin(∠ABC-∠AMC)
=sin∠ABCcos∠AMC-cos∠ABCsin∠AMC=,
在△ABM中,由正弦定理可得=,则BM=×=5.
思维升华 在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时,通常是转化到三角形中,利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时,常先引入变量,如边长、角度等,然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来,再利用正、余弦定理列出方程,再解方程即可.若研究最值,常使用函数思想.
跟踪训练2 (1)(多选)(2023·合肥模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个命题中正确的是( )
A.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形
B.若bcos C+ccos B=b,则△ABC是等腰三角形
C.若==,则△ABC一定是等边三角形
D.若B=60°,b2=ac,则△ABC是直角三角形
答案 BC
解析 对于A,若acos A=bcos B,则由正弦定理得sin Acos A=sinBcos B,
∴sin2A=sin 2B,则2A=2B或2A+2B=180°,即A=B或A+B=90°,则△ABC为等腰三角形或直角三角形,故A错误;
对于B,若bcos C+ccos B=b,则由正弦定理得sin Bcos C+sinCcos B=sin(B+C)=sin A=sinB,即A=B,则△ABC是等腰三角形,故B正确;
对于C,若==,则由正弦定理得==,则tan A=tan B=tanC,即A=B=C,即△ABC是等边三角形,故C正确;
对于D,由于B=60°,b2=ac,由余弦定理可得b2=ac=a2+c2-ac,可得(a-c)2=0,解得a=c,可得A=C=B,故△ABC是等边三角形,故D错误.
(2)在①b2+ac=a2+c2;②cosB=bcos A;③sinB+cosB=这三个条件中任选一个填在下面的横线中,并解决该问题.
已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, ,A=,b=,求△ABC的面积.
解 若选①,则由b2+ac=a2+c2,
得ac=a2+c2-b2.
由余弦定理得cos B===.
因为B∈(0,π),
所以B=.
由正弦定理得=,
即=,解得a=.
因为C=π-A-B=π--=,
所以sin C=sin =sin
=sin cos +cos sin =,
所以S△ABC=absin C=×××=.
若选②,因为cos B=bcos A,A=,b=,
所以cos B=bcos A=cos =.
因为B∈(0,π),
所以B=.
由正弦定理得=,
即=,解得a=.
因为C=π-A-B=π--=,
所以sin C=sin =sin
=sin cos +cos sin =,
所以S△ABC=absin C=×××=.
若选③,则由sin B+cos B=,
得sin=,
所以sin=1.
因为B∈(0,π),
所以B+∈,
所以B+=,所以B=.
由正弦定理得=,
即=,解得a=.
因为C=π-A-B=π--=,
所以sin C=sin =sin
=sin cos +cos sin =,
所以S△ABC=absin C=×××=.
(3)(2022·重庆八中模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,在①c(sin A-sin C)=(a-b)(sin A+sin B);②2bcosA+a=2c;③acsin B=a2+c2-b2三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.
①若 ,求角B的大小;
②求sinA+sinC的取值范围;
③如图所示,当sinA+sinC取得最大值时,若在△ABC所在平面内取一点D(D与B在AC两侧),使得线段DC=2,DA=1,求△BCD面积的最大值.
解 ①若选①,
因为c(sin A-sin C)=(a-b)(sin A+sin B),
由正弦定理得c(a-c)=(a-b)(a+b),
整理得a2+c2-b2=ac,
所以cos B===,
又0<B<π,所以B=.
若选②,
因为2bcos A+a=2c,
由余弦定理得2b·+a=2c,
化简得,a2+c2-b2=ac,
所以cos B===,
又0<B<π,所以B=.
若选③,
因为acsin B=a2+c2-b2,
由余弦定理得acsin B=2accosB,
化简得tan B=,
又0<B<π,所以B=.
②由①得,A+C=,
则0<A<,
sin A+sinC=sin A+sin=sin A+cos A=sin,
又<A+<,
所以<sin≤1,
则sinA+sin C的取值范围是.
③当sin A+sinC取得最大值时,A+=,
解得A=,
又B=,所以△ABC为等边三角形,
令∠ACD=θ,∠ADC=α,AB=AC=BC=a,
则由正弦定理可得=,
所以sin α=asin θ.
又由余弦定理得,a2=22+12-2×2×1×cosα,
所以a2cos2θ=a2-a2sin2θ=cos2α-4cosα+4,
所以acos θ=2-cosα.
S△BCD=×a×2sin
=acos θ+asin θ
=(2-cosα)+sin α
=+sin≤+1,
当且仅当α=∠ADC=时等号成立,
所以△BCD面积的最大值为+1.
课时精练
1.在△ABC中,C=60°,a+2b=8,sin A=6sin B,则c等于( )
A. B. C.6 D.5
答案 B
解析 因为sin A=6sinB,
则由正弦定理得a=6b,
又a+2b=8,所以a=6,b=1,
因为C=60°,
所以由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,
即c2=62+12-2×6×1×,
解得c=.
2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sin A-sin B)=(b+c)sin C,a=7,则△ABC外接圆的直径为( )
A.14 B.7 C. D.
答案 D
解析 已知(a+b)(sin A-sin B)=(b+c)sin C,
由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(b+c)c,化简得b2+c2-a2=-bc,
所以cos A===-,
又因为A∈(0,π),所以A=,
所以sin A=sin =,设△ABC外接圆的半径为R,
由正弦定理可得2R===,
所以△ABC外接圆的直径为.
3.(2022·北京模拟)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若asin B=bcos A,且b=2,c=2,则a的值为( )
A.2 B.2
C.2-2 D.1
答案 B
解析 由已知及正弦定理得,sin Asin B=sinBcos A且sin B≠0,可得tan A=,又0<A<π,
所以A=,又b=2,c=2,
所以由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=16-12=4,解得a=2.
4.(2023·枣庄模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=60°,b=1,S△ABC=,则等于( )
A. B. C. D.2
答案 A
解析 由三角形的面积公式可得S△ABC=bcsin A=c=,解得c=4,
由余弦定理可得a==,
设△ABC的外接圆半径为r,由正弦定理得===2r,
所以==2r===.
5.(2023·马鞍山模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sin B+sin C)2=sin2A+(2-)sin Bsin C,sin A-2sin B=0,则sin C等于 ( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 在△ABC中,由(sin B+sin C)2=sin2A+(2-)sin Bsin C及正弦定理得(b+c)2=a2+(2-)bc,
即b2+c2-a2=-bc,由余弦定理得cos A==-,而0°<A<180°,解得A=135°,
由sin A-2sinB=0得sinB=sin A=,显然0°<B<90°,则B=30°,C=15°,
所以sin C=sin(60°-45°)=sin60°cos 45°-cos 60°sin 45°=.
6.(2023·衡阳模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2cos B(acosC+ccos A)=b,lg sin C=lg 3-lg 2,则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
答案 C
解析 ∵2cos B(acos C+ccos A)=b,
∴根据正弦定理得,
2cos B(sin AcosC+cos Asin C)=sinB,
∴2cosBsin(A+C)=sinB,
∴2cosBsin(π-B)=sinB,
即2cosBsin B=sin B,
∵B∈(0,π),∴sin B≠0,
∴cosB=,∴B=.
∵lgsin C=lg 3-lg2,
∴lgsin C=lg ,∴sin C=,
∵C∈(0,π),∴C=或,
∵B=,∴C≠,∴C=,
∴A=B=C=,即△ABC为等边三角形.
7.(2022·全国甲卷)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当取得最小值时,BD= .
答案 -1
解析 设BD=k(k>0),则CD=2k.
根据题意作出大致图形,如图.
在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=22+k2-2×2k·=k2+2k+4.
在△ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=22+(2k)2-2×2×2k·=4k2-4k+4,
则=
=
=4-=4-
=4-.
∵k+1+≥2(当且仅当k+1=,
即k=-1时等号成立),
∴≥4-=4-2=(-1)2,
∴当取得最小值-1时,BD=k=-1.
8.(2023·宜春模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin BsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为 .
答案
解析 ∵bsin C+csin B=4asin BsinC,sin Bsin C>0,
结合正弦定理可得sin Bsin C+sinCsin B=4sin Asin BsinC,
∴sinA=,∵b2+c2-a2=8,
结合余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,
可得2bccos A=8,
∴A为锐角,且cos A=,从而求得bc=,
∴△ABC的面积为S=bcsin A=××=.
9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcos C=(2a-c)cos B.
(1)求B;
(2)若b=3,sin C=2sin A,求△ABC的面积.
解 (1)由正弦定理,得sin Bcos C=2sinAcos B-cos Bsin C,
即sinBcos C+cos Bsin C=2sinAcos B,
∴sin(B+C)=2sin Acos B,
∴sinA=2sin Acos B,
又∵sin A≠0,∴cos B=,
∵B为三角形内角,∴B=.
(2)∵sinC=2sin A,∴由正弦定理得c=2a,
∴由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+4a2-2a2=9,即3a2=9,
∴a=,c=2,
∴△ABC的面积为S=acsin B=××2×=.
10.(2023·湖州模拟)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知bsin=asin B.
(1)求角A的大小;
(2)若b,a,c成等比数列,判断△ABC的形状.
解 (1)∵bsin=asin B,由诱导公式得bcos A=asin B,
由正弦定理得sin Bcos A=sinAsin B,
∵sinB≠0,∴cos A=sinA,即tan A=,
∵A∈(0,π),∴A=.
(2)∵b,a,c成等比数列,∴a2=bc,
由余弦定理得cos A=
==,
即b2+c2-bc=bc,
∴(b-c)2=0,∴b=c,
又由(1)知A=,
∴△ABC为等边三角形.
11.(多选)对于△ABC,有如下判断,其中正确的是( )
A.若cos A=cos B,则△ABC为等腰三角形
B.若A>B,则sin A>sin B
C.若a=8,c=10,B=60°,则符合条件的△ABC有两个
D.若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC是钝角三角形
答案 ABD
解析 对于A,若cos A=cos B,则A=B,所以△ABC为等腰三角形,故A正确;
对于B,若A>B,则a>b,由正弦定理==2R,得2Rsin A>2Rsin B,即sin A>sin B成立,故B正确;
对于C,由余弦定理可得b==,只有一解,故C错误;
对于D,若sin2A+sin2B<sin2C,则根据正弦定理得a2+b2<c2,cosC=<0,所以C为钝角,所以△ABC是钝角三角形,故D正确.
12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin Asin BsinC=,△ABC的面积为2,则下列选项错误的是( )
A.abc=16
B.若a=,则A=
C.△ABC外接圆的半径R=2
D.2≥32sinC
答案 B
解析 由题可得absin C=2,则sin C=,
代入sin Asin Bsin C=,
得=,
即R2=8,即R=2,C正确;
abc=8R3sinAsin Bsin C=128×=16,A正确;
若a=,则sin A===,此时A≠,B错误;
因为sin A>0,sinB>0,
所以(sin A+sin B)2≥4sinAsin B,
所以≥,
由sinAsin Bsin C=,得=32sinC,
所以≥32sinC,即2≥32sinC,D正确.
13.(2023·嘉兴模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知csin A=acos C,c=2,ab=8,则a+b的值是 .
答案 6
解析 ∵csin A=acos C,根据正弦定理得sin Csin A=sin Acos C,
∵sinA≠0,故tan C=,∵C∈(0,π),∴C=,
再由余弦定理得cos C===,
代入c=2,ab=8,得a+b=6.
14.在△ABC中,已知AB=4,AC=7,BC边的中线AD=,那么BC= .
答案 9
解析 在△ABD中,结合余弦定理得cos∠ADB=,
在△ACD中,结合余弦定理得cos∠ADC=,
由题意知BD=CD,∠ADB+∠ADC=π,
所以cos∠ADB+cos∠ADC=0,
所以+=0,
即+=0,解得CD=,
所以BC=9.
15.(多选)(2023·珠海模拟)已知△ABC满足sin A∶sinB∶sin C=2∶3∶,且△ABC的面积S△ABC=,则下列命题正确的是( )
A.△ABC的周长为5+
B.△ABC的三个内角A,B,C满足关系A+B=2C
C.△ABC的外接圆半径为
D.△ABC的中线CD的长为
答案 ABD
解析 因为△ABC满足sin A∶sin B∶sinC=2∶3∶,
所以a∶b∶c=2∶3∶,
设a=2t,b=3t,c=t,t>0,
利用余弦定理cos C===,
由于C∈(0,π),所以C=.
对于A,因为S△ABC=,
所以absin C=·2t·3t·=,解得t=1.
所以a=2,b=3,c=,
所以△ABC的周长为5+,故A正确;
对于B,因为C=,所以A+B=,故A+B=2C,故B正确;
对于C,利用正弦定理 ===2R,解得R=,所以△ABC的外接圆半径为,故C错误;
对于D,如图所示,
在△ABC中,利用正弦定理=,解得sin A=,
又a<c,所以cos A=,
在△ACD中,利用余弦定理CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cosA=9+-2×3××=,
解得CD=,故D正确.
16.如图,△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知a2+c2=b2+ac,则B= .若线段AC的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,且BC=4,DE=.则△BCE的面积为 .
答案 2
解析 在△ABC中,由余弦定理知cos B=,而a2+c2=b2+ac,
∴cosB=,又0<B<π,则B=,
在△BCE中,设∠CEB=θ,则=,可得CE=,
又AC的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,则∠ECA=∠EAC=,
∴sin ==,可得cos =,而0<θ<π,故=,即θ=.
∴CE=2,BE=2,故△BCE的面积为·CE·BE=2.