§10.7 二项分布、超几何分布与正态分布
考试要求
1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
知识梳理
1．二项分布
(1)伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
2．超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，
r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
3．正态分布
(1)定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝
，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
②曲线在x＝μ处达到峰值；
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
(3)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
常用结论
1．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
2．超几何分布有时也记为 X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝，
D(X)＝.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．( √ )
(2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．( √ )
(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布．( × )
(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．( × )
教材改编题
1．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为，那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 用X表示发芽的粒数，则X～B，则P(X＝3)＝C×3×2＝，故播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率为.
2．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布N(80,102)，则理论上在80分到90分的人数约是( )
A．32 B．16 C．8 D．20
答案 B
解析 因为数学成绩近似地服从正态分布N(80,102)，所以P(|x－80|≤10)≈0.6827.根据正态密度曲线的对称性可知，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半，所以理论上在80分到90分的人数是×0.6827×48≈16.
3．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝1)＝________.
答案
解析 由题意得，P(X＝1)＝＝.
题型一 二项分布
例1 (1)(2023·海口模拟)某班50名学生通过直播软件上网课，为了方便师生互动，直播屏幕分为1个大窗口和5个小窗口，大窗口始终显示老师讲课的画面，5个小窗口显示5名不同学生的画面．小窗口每5分钟切换一次，即再次从全班随机选择5名学生的画面显示，且每次切换相互独立．若一节课40分钟，则该班甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间的均值是( )
A．10分钟 B．5分钟
C．4分钟 D．2分钟
答案 C
解析 每5分钟算作一轮，每一轮甲同学出现在直播屏幕上的概率为＝，
设他在直播屏幕上出现的轮次为X，
根据题意得，X～B，E(X)＝8×＝0.8，
设甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间为Y(单位：分钟)，
则E(Y)＝E(5X)＝5×0.8＝4(分钟)．
(2)(2022·衡阳模拟)某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策．已知创业项目甲成功的概率为，项目成功后可获得政府奖金20万元；创业项目乙成功的概率为P0(0<P0<1)，项目成功后可获得政府奖金30万元．项目没有成功，则没有奖励，每个项目有且只有一次实施机会，两个项目的实施是否成功互不影响，项目成功后当地政府兑现奖励．
①大学毕业生张某选择创业项目甲，毕业生李某选择创业项目乙，记他们获得的奖金累计为X(单位：万元)，若X≤30的概率为.求P0的大小；
②若两位大学毕业生都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业，问：他们选择何种创业项目，累计得到的奖金的均值更大？
解 ①由已知得，张某创业成功的概率为，李某创业成功的概率为P0，且两人是否创业成功互不影响，
记“这2人累计获得的奖金X≤30”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝50”，
∵P(X＝50)＝P0，
∴P(A)＝1－P(X＝50)＝1－P0＝，
解得P0＝.
②设两位大学毕业生都选择创业项目甲且创业成功的次数为X1，都选择创业项目乙且创业成功的次数为X2，
则这两人选择项目甲累计获得的奖金的均值为E(20X1)，
选择项目乙累计获得的奖金的均值为E(30X2)，
由已知可得，X1～B，X2～B(2，P0)，
∴E(X1)＝，E(X2)＝2P0，
∴E(20X1)＝20E(X1)＝20×＝，
E(30X2)＝30E(X2)＝60P0，
若E(20X1)>E(30X2)，即>60P0，解得0<P0<；
若E(20X1)<E(30X2)，即<60P0，解得<P0<1；
若E(20X1)＝E(30X2)，即＝60P0，解得P0＝.
综上所述，当0<P0<时，他们都选择项目甲进行创业，累计得到的奖金的均值更大；
当<P0<1时，他们都选择项目乙进行创业，累计得到的奖金的均值更大；
当P0＝时，他们选择两项目进行创业，累计得到的奖金的均值相等．
思维升华 二项分布问题的解题关键
(1)定型：
①在每一次试验中，事件发生的概率相同．
②各次试验中的事件是相互独立的．
③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
(2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．
跟踪训练1 (1)已知随机变量X～B(n，p)，E(X)＝2，D(X)＝，则P(X≥2)等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 因为随机变量X～B(n，p)，
E(X)＝2，D(X)＝，
则解得
所以P(X≥2)＝1－P(X＝1)－P(X＝0)
＝1－C×1×3－1－C×0×3－0
＝1－－＝.
(2)某中学面向全校所有学生开展一项有关每天睡眠时间的问卷调查，调查结果显示，每天睡眠时间少于7小时的学生占40%，而每天睡眠时间不少于8小时的学生只有30%.现从所有问卷中随机抽取4份问卷进行回访(视频率为概率)．
①求抽取到的问卷中至少有2份调查结果为睡眠时间不少于7小时的概率；
②记抽取到的问卷中调查结果为睡眠时间少于7小时的问卷份数为X，求X的分布列及均值E(X)．
解 ①根据题意可知，每天睡眠时间少于7小时的学生的概率为，每天睡眠时间不少于7小时的学生的概率为，
所以4份问卷中至少有2份结果为睡眠时间不少于7小时的概率为
P＝1－C×4－C××3＝.
②根据题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，且X～B，
则P(X＝0)＝4＝，
P(X＝1)＝C××3＝，
P(X＝2)＝C×2×2＝，
P(X＝3)＝C×3×＝，
P(X＝4)＝4＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
所以E(X)＝4×＝.
题型二 超几何分布
例2 2022年12月4日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，航天员顺利出舱，神舟十四号载人飞行任务圆满完成．为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校高一年级组织2 000名学生进行了航天知识竞赛(满分：100分)并进行记录，根据得分将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，绘制出如图所示的频率分布直方图．
(1)用频率估计概率，从该校随机抽取2名同学，求其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率；
(2)从得分在[60,90]的学生中利用比例分配的分层随机抽样的方法选出8名学生，若从中选出3人参加有关航天知识演讲活动，求选出的3人中竞赛得分不低于70分的人数X的分布列及均值．
解 (1)每名学生得分低于70分的概率为1－(0.04＋0.02)×10＝0.4，不低于80分的概率为0.02×10＝0.2.
故其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率为C×0.4×0.2＝.
(2)由频率分布直方图可得，8人中分数在[60,70)的有2人，[70,90]的有6人，
所以X～H(3,6,8)，X的所有可能取值为1,2,3，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
故X的分布列为
X
1
2
3
P
故E(X)＝＝.
思维升华 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列．
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．
跟踪训练2 为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期，月度滚动使用．第一阶梯：年用电量在2 160度以下(含2 160度)，执行第一档电价0.565 3元/度；第二阶梯：年用电量在2 161度到4 200度内(含4 200度)，超出2 160度的电量执行第二档电价0.615 3元/度；第三阶梯：年用电量在4 200度以上，超出4 200度的电量执行第三档电价0.865 3元/度．
某市的电力部门从本市的用户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下：
用户
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年用电量/度
1 000
1 260
1 400
1 824
2 180
2 423
2 815
3 325
4 411
4 600
(1)计算表中编号为10的用户该年应交的电费；
(2)现要在这10户中任意选取4户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列．
解 (1)因为第二档电价比第一档电价每度多0.05元，
第三档电价比第一档电价每度多0.3元，
编号为10的用户一年的用电量是4 600度，
所以该户该年应交电费
4 600×0.5653＋(4 200－2160)×0.05＋(4600－4 200)×0.3＝2822.38(元)．
(2)设取到第二阶梯的户数为X，
易知第二阶梯有4户，则X的所有可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
题型三 正态分布
例3 (1)(多选)(2023·哈尔滨模拟)某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是( )
A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值
B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值
C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
答案 AC
解析 X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，
结合正态密度函数的图象可知，μ1＝μ2，σ1<σ2，
故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误；
甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误．
(2)(2022·合肥模拟)某市高三年级共有14 000人参加教学质量检测，学生的数学成绩ξ近似服从正态分布N(90，σ2)(试卷满分150分)，且P(ξ≥100)＝0.3，据此可以估计，这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数约为( )
A．2 800 B．4 200
C．5 600 D．7 000
答案 A
解析 ∵ξ近似服从正态分布N(90，σ2)(试卷满分150分)，且P(ξ≥100)＝0.3，
∴P(ξ≤80)＝0.3，∴P(80≤ξ≤90)＝＝0.2，
∴估计这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数约为14 000×0.2＝2800.
思维升华 解决正态分布问题的三个关键点
(1)对称轴为x＝μ.
(2)标准差为σ.
(3)分布区间．
利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
跟踪训练3 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________.
答案 0.14
解析 因为X～N(2，σ2)，所以P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.
(2)(2022·安庆模拟)某中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值X近似服从正态分布，正态密度曲线如图①所示．为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该中学决定在分数段[m，n)内抽取学生，并确定m＝67，且P(m≤X≤n)＝0.818 6.在某班用简单随机抽样的方法得到20名学生的分值分布茎叶图如图②所示．若该班抽取学生分数在分数段[m，n)内的人数为k，则k＝________；这k名学生的平均分为________．
(附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈
0.997 3)
答案 10 74
解析 由图①可知，μ＝72，σ＝5，
∴随机变量X～N(72,25)，
∴P(67≤X≤77)≈0.6827，P(62≤X≤82)≈0.9545，
∵P(67≤X≤n)＝0.8186＝0.954 5－，
∴n＝82，
由图②可知，该班在[67,82)内抽取了10人，即k＝10，
∴平均分为
＝74.
课时精练
1．已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为ξ，则均值E(ξ)为( )
A. B. C．1 D.
答案 D
解析 ξ的所有可能取值为0,1,2，
则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
则E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
2．(2023·盐城模拟)某中学高三(1)班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得，数学成绩X～N(110,100)，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为(参考数据：P(|X－μ|≤σ)≈0.6827，P(|X－μ|≤2σ)≈0.9545)( )
A．16 B．10 C．8 D．2
答案 C
解析 因为数学成绩X～N(110,100)，
所以P(X>120)＝≈0.16，
故估计该班数学得分大于120分的学生人数约为0.16×50＝8.
3．(2022·安庆模拟)高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块(如图所示)，并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块．如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由题意知，小球下落过程中共碰撞小木块5次，小球落到第⑤个格子需向左落下1次，向右落下4次，又小球向左、向右落下的概率均为，
故小球落到第⑤个格子的概率P＝C×4×1＝.
4．(多选)(2021·新高考全国Ⅱ改编)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中正确的是( )
A．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)的概率越大
B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10,10.3)的概率相等
答案 ABC
解析 对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；
对于C，由正态密度曲线的对称性可知，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9，10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不同，故D错误．
5．(多选)下列说法正确的是( )
A．设随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)＝
B．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.9，则P(0<X<2)＝0.4
C．甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是
D．E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝2D(X)＋3
答案 ABC
解析 对于A，若随机变量X服从二项分布B，
则P(X＝3)＝C33＝，故A正确；
对于B，因为随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，所以正态密度曲线的对称轴是直线x＝2.
因为P(X<4)＝0.9，所以P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.1，
所以P(0<X<2)＝P(2<X<4)＝0.4，故B正确；
对于C，设事件A为至少有1个景点未被选择，事件B为恰有2个景点未被选择，
则P(AB)＝＝，
P(A)＝1－＝，
所以P(B|A)＝＝，故C正确；
对于D，E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝4D(X)，故D不正确．
6．(2022·宁波模拟)一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中有1个红球、2个黑球，现随机等可能地取出小球．当有放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ1；当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则( )
A．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)
B．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
C．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)
D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
答案 B
解析 依题意知，ξ1的所有可能取值为0,1,2，ξ1～B，
所以E(ξ1)＝2×＝，D(ξ1)＝2××＝；
当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则ξ2的所有可能取值为0,1，
P(ξ2＝0)＝×＝，
P(ξ2＝1)＝×＋×＝，
所以E(ξ2)＝0×＋1×＝，D(ξ2)＝2×＋2×＝.
所以E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)．
7．某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格．则合格的概率为________．
答案
解析 设此人答对题目的个数为ξ，则ξ的所有可能取值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
则合格的概率为P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝.
8．(2023·泰安模拟)随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的职业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2022年共有10 000人参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩(满分100分)作为样本，整理得到如下频数分布表：
笔试成绩X
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
人数
5
10
25
30
20
10
由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中，μ近似为100名样本考生笔试成绩的平均值(同一组的数据用该组区间的中点值代替)，则μ＝________.若σ＝12.9，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于85.9的人数约为 ________.(结果四舍五入精确到个位)
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
答案 73 1 587
解析 由题意知，μ≈＝73.
易知P(X>85.9)＝P(X>73＋12.9)≈＝0.15865，
故估计该市全体考生中笔试成绩高于85.9的人数大约为10 000×0.158 65≈1587.
9．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率均为，每位选手每次编程都互不影响．
(1)求乙闯关成功的概率；
(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和均值，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大．
解 (1)乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A，则P(A)＝
C2×＋3＝.
(2)由题意知，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
所以甲闯关成功的概率为＋＝，因为<，所以甲闯关成功的可能性更大．
10．“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担的政策，“双减”政策的出台对校外培训机构的经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了降低风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2022年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表所示.
消费金额(千元)
[3,5)
[5,7)
[7,9)
[9,11)
[11,13)
[13,15]
人数
30
50
60
20
30
10
(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用比例分配的分层随机抽样方法在消费金额在区间[9,11)和[11,13)内的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为[11,13)的人数的分布列和均值；
(2)将频率视为概率，假设该大型校外培训机构2022年所有学员的消费金额可视为服从正态分布N(μ，σ2)，μ，σ2分别为前200名报名学员消费的平均数以及方差s2(同一区间的数据用该组区间的中点值替代)．
①试估计该机构学员2022年消费金额ε在区间[5.2,13.6)内的概率(保留一位小数)；
②若从该机构2022年所有学员中随机抽取4人，记消费金额在区间[5.2,13.6)内的人数为η，求η的方差．
参考数据：≈1.4；若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.9973.
解 (1)由题意得，抽取的5人中消费金额在区间[9,11)内的人数为×5＝2，消费金额在区间[11,13)内的人数为×5＝3，
设抽取的3人中消费金额在区间[11,13)内的人数为X，则X的所有可能取值为1,2,3，
所以P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
则E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
(2)①由题意得，μ＝＝4×0.15＋6×0.25＋8×0.3＋10×0.1＋12×0.15＋14×0.05＝8，
σ2＝(4－8)2×0.15＋(6－8)2×0.25＋(10－8)2×0.1＋(12－8)2×0.15＋(14－8)2×0.05＝8，
所以σ＝＝2≈2.8，
所以P(5.2≤ε<13.6)＝P(8－2.8≤ε<8＋2×2.8)≈≈0.8.
②由题意及①得η～B，n＝4，p＝，
所以D(η)＝np(1－p)＝4××＝.
11．(多选)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝a1a2a3a4a5(例如10 100)，其中A的各位数ak(k＝2,3,4,5)中，出现0的概率为，出现1的概率为，记X＝a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时，下列选项正确的是( )
A．X服从二项分布
B．P(X＝1)＝
C．X的均值E(X)＝
D．X的方差D(X)＝
答案 AC
解析 由二进制数A的特点知，每一个数位上的数字只能为0,1，
且每个数位上的数字互不影响，X的分布列为P(X＝k)＝Ck4－k，k＝0,1,2,3,4，
故X～B，故A正确；
P(X＝1)＝C×1×3＝，故B错误；
E(X)＝4×＝，故C正确；
D(X)＝4××＝，故D错误．
12．(2022·天津模拟)某志愿者召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人成为志愿者队的队长，则在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下，“抽取的3人全是男志愿者”的概率是 ________；若用X表示抽取的三人中女志愿者的人数，则E(X)＝________.
答案
解析 记全是男志愿者为事件A，至少有一名男志愿者为事件B，
则P(AB)＝P(A)＝＝，P(B)＝1－＝，
故P(A|B)＝＝＝，即在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下，“抽取的3人全是男志愿者”的概率是，
由题意可知，X服从超几何分布，E(X)＝3×＝.
13．柯西分布是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量X服从柯西分布为X～C(γ，x0)，其中当γ＝1，x0＝0时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为f(x)＝.已知X～C(1,0)，P(|X|≤)＝，P(1<X≤)＝，则P(X≤－1)等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为f(－x)＝＝f(x)，所以该函数是偶函数，图象关于y轴对称，
由P(|X|≤)＝，可得P(0<X<)＝，
因为P(1<X≤)＝，
所以P(0<X<1)＝－＝，
因此P(－1<X<0)＝，
所以P(X≤－1)＝－＝.
14．(2023·开封模拟)已知随机变量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤1)＝P(ξ≥a－3)，则＋(0<x<a)的最小值为________.
答案 4
解析 随机变量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤1)＝P(ξ≥a－3)，可得1＋a－3＝2×1，解得a＝4，
由0<x<4，可得0<4－x<4，
则＋＝＋＝[x＋(4－x)]·＝
≥×＝4，
当且仅当＝，即x＝1时取等号．
所以＋(0<x<a)的最小值为4.
