考情分析
交流电
及四值
2022·浙江1月选考·T9 2022·广东卷·T4 2022·河北卷·T3 2021·辽宁卷·T5
2021·江苏卷·T12 2021·天津卷·T3 2021·北京卷·T5 2021·浙江1月选考·T16
2021·浙江6月选考·T5 2018·全国卷Ⅲ·T16
变压器综合问题
2022·山东卷·T4 2022·湖北卷·T9 2022·湖南卷·T6 2022·北京卷·T4
2022·重庆卷·T3 2021·广东卷·T7 2021·河北卷·T8 2021·湖南卷·T6
2021·湖北卷·T6 2021·福建卷·T3 2020·全国卷Ⅲ·T20 2020·江苏卷·T2
2020·山东卷·T5
远距离
输电
2020·全国卷Ⅱ·T19 2020·浙江7月选考·T11
电磁波
2021·浙江6月选考·T8 2021·福建卷·T5 2020·北京卷·T3
2020·江苏卷·T13B(1)
传感器
2022·河北卷·T12 2022·北京卷·T13 2022·重庆卷·T11
试题情境
生活实
践类
发电机、变压器、远距离输电、无线充电、家用和工业电路、家用电器、雷达、射电望远镜、X射线管、电子秤、烟雾报警器等
学习探
究类
探究变压器原、副线圈电压与匝数的关系，探究家用小型发电机的原理，探究负载增加对供电系统的影响、电磁振荡、利用传感器制作简单的自动控制装置
第1讲 交变电流的产生和描述
目标要求
1.理解正弦式交变电流的产生过程，能正确书写交变电流的函数表达式.2.理解并掌握交变电流图像的意义.3.理解描述交变电流的几个物理量，会计算交变电流的有效值.4.知道交流电“四值”在具体情况下的应用．
考点一 正弦式交变电流的产生及变化规律
1．产生
在匀强磁场中线圈绕垂直于磁场方向的轴匀速转动．
2．两个特殊位置的特点
(1)线圈平面转到中性面时，S⊥B，Φ最大，＝0，e＝0，i＝0，电流方向将发生改变．
(2)线圈平面与中性面垂直时，S∥B，Φ＝0，最大，e最大，i最大，电流方向不改变．
3．一个周期内线圈中电流的方向改变两次．
4．描述交变电流的物理量
(1)最大值
Em＝NBSω，与转轴位置无关，与线圈形状无关(均选填“有关”或“无关”)．
(2)周期和频率
①周期(T)：交变电流完成一次周期性变化所需的时间．单位是秒(s)，公式T＝.
②频率(f)：交变电流在单位时间内完成周期性变化的次数．单位是赫兹(Hz)．
③周期和频率的关系：T＝或f＝.
5．交变电流的变化规律(线圈从中性面开始计时)
函数表达式
图像
磁通量
Φ＝Φmcos ωt＝Bscos ωt
电动势
e＝Emsin ωt＝NBSωsin ωt
1．矩形线圈在匀强磁场中匀速转动时，一定会产生正弦式交变电流．( × )
2．线圈在磁场中转动的过程中穿过线圈的磁通量最大时，产生的感应电动势也最大．( × )
3．线圈经过中性面时，感应电动势为零，感应电流方向发生改变．( √ )
4．当线圈从垂直中性面开始计时，产生的电动势按正弦规律变化，即e＝Emsin ωt.( × )
书写交变电流瞬时值表达式的技巧
(1)确定正弦交变电流的峰值：根据已知图像读出或由公式Em＝NBSω求出相应峰值．
(2)明确线圈的初始位置：
①若线圈从中性面位置开始计时，则i－t图像为正弦函数图像，函数表达式为i＝Imsin ωt.
②若线圈从垂直中性面位置开始计时，则i－t图像为余弦函数图像，函数表达式为i＝Imcos ωt.
例1
(2023·广西柳州市模拟)为研究交变电流产生的规律，某研究小组把长60 m导线绕制成N＝100匝的矩形闭合线圈，如图所示．现把线圈放到磁感应强度大小B＝0.1 T、方向水平向右的匀强磁场中，线圈可以绕其对称轴OO′转动．现让线圈从图示位置开始(t＝0)以恒定的角速度ω＝10π rad/s转动．下列说法正确的有( )
A．t＝0时，线圈位于中性面位置
B．t＝0.05 s时，感应电流达到最大值
C．当bc＝2ab时，感应电动势的表达式为e＝2πsin 10πt (V)
D．当ab＝ad时，感应电动势的有效值最大
答案 D
解析 t＝0时，线圈位于与中性面垂直的位置，故A错误；线圈的周期为T＝＝0.2s，t＝0.05s时，线圈转过90°，到达中性面位置，此时磁通量最大，感应电流为零，故B错误；电动势最大值为Em0＝NBS0ω，S0＝ab·bc，N(ab＋bc)×2＝60m,2ab＝bc，联立可得Em0＝2π V，线圈从题中图示位置(平行于磁场方向)开始转动，因此感应电动势的表达式为e＝2πcos10πt (V)，故C错误；线圈周长为0.6 m，当ab＝ad时，边长相等，此时线圈面积最大，又Em＝NBSω，则感应电动势最大，即感应电动势的有效值最大，故D正确．
例2
(2023·江苏省高三月考)两人在赤道上站立，各自手握金属绳OPO′的一端，绕东西方向的水平轴沿顺时针方向匀速摇动，周期为T，将金属绳连入电路，闭合回路如图所示，取金属绳在图示的最高位置时为t＝0时刻，则下列说法正确的是( )
A．电路中存在周期为T的变化电流
B．t＝0时刻，回路中磁通量最大，电路中电流最大
C．t＝时刻，电流向左通过灵敏电流计
D．t＝时刻，回路磁通量最大，电路中电流最大
答案 A
解析 金属绳在匀强磁场中匀速摇动时，产生周期性变化的电流，所以这个电路中存在周期为T的变化电流，故A正确；在t＝时刻，金属绳向下运动，由右手定则可知，电流向右通过灵敏电流计，故C错误；在t＝0时刻和t＝时刻，磁通量的变化率最小，则电路中电流最小，故B、D错误．
例3
一手摇交流发电机线圈在匀强磁场中匀速转动，内阻不计．转轴位于线圈平面内，并与磁场方向垂直．产生的电动势随时间变化的规律如图所示，则( )
A．该交变电流的频率是0.4 Hz
B．t＝0时刻，线圈恰好与中性面重合
C．t＝0.1 s时，穿过线圈的磁通量最大
D．该交变电动势瞬时值表达式是e＝10cos 5πt (V)
答案 C
解析 由题图可知电动势随着时间变化的周期为T＝0.4 s，故频率为f＝＝ Hz＝2.5 Hz，故A错误；在t＝0时刻，电动势最大，所以此时穿过线圈的磁通量为0，线圈和中性面垂直，故B错误；在t＝0.1 s时，电动势为0，穿过线圈的磁通量最大，故C正确；该交变电动势最大值为Um＝10 V，ω＝＝ rad/s＝5π rad/s，因从垂直中性面开始计时，所以电动势瞬时值表达式是e＝Emcosωt＝10cos5πt (V)，故D错误．
考点二 交变电流有效值的求解
1．有效值
让交变电流与恒定电流分别通过大小相同的电阻，如果在交变电流的一个周期内它们产生的热量相等，则这个恒定电流的电流I与电压U就是这个交变电流的有效值．
2．正弦式交变电流的有效值与峰值之间的关系
I＝，U＝，E＝.
1．有效值等于峰值的，这一关系适用于所有交变电流．( × )
2．交变电流的有效值就是一个周期内的平均值．( × )
例4
阻值为R的电阻上通以如图所示的交变电流，则此交变电流的有效值为( )
A．1 A B. A
C．2 A D．3 A
答案 B
解析 根据焦耳定律以及有效值的概念得I2RT＝(2A)2×R×＋(1A)2×R×，解得I＝ A，B正确．
例5
(2023·湖北黄冈市模拟)如图是某一线圈通过的交流电的电流－时间关系图像(前半个周期为正弦波形的)，则一个周期内该电流的有效值为( )
A.I0 B.I0 C.I0 D.I0
答案 B
解析 设该电流的有效值为I，由I2RT＝()2R·＋(2I0)2R·，解得I＝I0，故选B.
有效值的计算
1．计算有效值时要根据电流的热效应，抓住“三同”：“相同时间”内“相同电阻”上产生“相同热量”，先分段计算热量，求和得出一个周期内产生的总热量，然后根据Q总＝I2RT或Q总＝T列式求解．
2．若图像部分是正弦(或余弦)式交变电流，其中的周期(必须是从零至最大值或从最大值至零)和周期部分可直接应用正弦式交变电流的有效值与最大值之间的关系I＝、U＝求解．
考点三 交变电流“四值”的理解和计算
物理量
物理含义
重要关系
适用情况及说明
瞬时值
交变电流某一时刻的值
e＝Emsin ωt
i＝Imsin ωt
计算线圈某时刻的受力情况
峰值
最大的瞬时值
Em＝NBSω
Im＝
讨论电容器的击穿电压
平均值
交变电流图像中图线与时间轴所围的面积与时间的比值
＝N
＝
计算通过导线横截面的电荷量
有效值
跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值
E＝
U＝
I＝
适用于正(余)弦式交变电流
(1)交流电流表、交流电压表的示数
(2)电气设备“铭牌”上所标的值(如额定电压、额定电流等)
(3)计算与电流的热效应有关的量(如电功、电功率、电热、保险丝的熔断电流等)
(4)没有特别加以说明的
1．交流电压表和电流表测量的是交流电的峰值．( × )
2．可以用平均值计算交变电流产生的热量．( × )
3．求通过导体横截面的电荷量q＝It，其中的I指的是有效值．( × )
例6
(多选)如图甲所示，标有“220 V 40 W”的灯泡和标有“20 μF 320 V”的电容器并联接到交流电源上，
为交流电压表，交流电源的输出电压如图乙所示，闭合开关．下列判断正确的是( )
A．t＝时刻，
的示数为零
B．灯泡恰好正常发光
C．电容器不可能被击穿
D.
的示数保持110 V不变
答案 BC
解析
的示数应是交流电压的有效值，即为220 V，选项A、D错误；交流电压的有效值恰好等于灯泡的额定电压，灯泡正常发光，选项B正确；交流电压的峰值Um＝220 V≈311V，小于电容器的耐压值，故电容器不可能被击穿，选项C正确．
例7
一个U形金属线框在两匀强磁场中绕OO′轴以相同的角速度匀速转动，通过导线给同一电阻R供电，如图甲、乙所示．甲图中OO′轴右侧有磁场，乙图中整个空间均有磁场，两图中磁场的磁感应强度相同．则甲、乙两图中交流电流表的示数之比为( )
A．1∶ B．1∶2 C．1∶4 D．1∶1
答案 A
解析 题图甲中OO′轴的右侧有磁场，所以线框只在半个周期内有感应电流产生，感应电流随时间变化的图像如图(a)，交流电流表测的是有效值，由2·R·＝I2RT，得I＝；题图乙中整个空间均有磁场，线框中产生的感应电流随时间变化的图像如图(b)，所以I′＝，则I∶I′＝1∶，故A正确．
例8
(2023·江苏省常熟中学模拟)图甲是某发电机的示意图，正方形金属框边长为L，其两端与两个半圆环相连，在磁感应强度为B的匀强磁场中以恒定角速度绕OO′轴转动．阻值为R的电阻两端的电压如图乙所示，Um为已知，其他电阻不计，则金属框转动一周( )
A．框内电流方向不变
B．电动势的有效值大于Um
C．流过电阻的电荷量为
D．电阻产生的焦耳热为
答案 D
解析 金属框每次经过中性面时框内电流方向都会改变，故A错误；由题图乙可知，金属框产生感应电动势的图像应为完整的正弦曲线，所以电动势的有效值等于Um，故B错误；金属框转动一周的过程中，流过电阻的电荷量为q＝××4＝××4＝×4＝，故C错误；设金属框转动的角速度为ω，则有Um＝BL2ω，金属框转动的周期为T＝，根据焦耳定律可得电阻产生的焦耳热为Q＝2，联立上述三式解得Q＝，故D正确．
课时精练
1.在匀强磁场中，匝数N＝100的矩形线圈绕垂直磁感线的转轴匀速转动，线圈中产生的感应电动势随时间变化规律如图所示，则下列说法正确的是( )
A．t＝0.5×10－2 s时，线圈平面与中性面重合
B．t＝1×10－2 s时，线圈中磁通量变化率最大
C．穿过每一匝线圈的最大磁通量为1×10－3 Wb
D．线圈转动的角速度为50π rad/s
答案 C
解析 由题图可知，当t＝0.5×10－2 s时，感应电动势最大，线圈平面与中性面垂直，故A错误；当t＝1×10－2 s时，感应电动势为0，线圈中磁通量变化率为0，故B错误；该交流电的周期T＝0.02s，则线圈转动的角速度ω＝＝ rad/s＝100πrad/s，交流电的最大感应电动势Em＝NBSω，所以Φm＝BS＝＝ Wb＝1×10－3 Wb，故C正确，D错误．
2.(2022·广东卷·4)如图是简化的某种旋转磁极式发电机原理图．定子是仅匝数n不同的两线圈，n1>n2，二者轴线在同一平面内且相互垂直，两线圈到其轴线交点O的距离相等，且均连接阻值为R的电阻，转子是中心在O点的条形磁铁，绕O点在该平面内匀速转动时，两线圈输出正弦式交变电流．不计线圈电阻、自感及两线圈间的相互影响，下列说法正确的是( )
A．两线圈产生的电动势的有效值相等
B．两线圈产生的交变电流频率相等
C．两线圈产生的电动势同时达到最大值
D．两电阻消耗的电功率相等
答案 B
解析 根据E＝n，可知穿过两线圈的磁通量的变化率相等，但是匝数不同，则产生的感应电动势最大值不相等，有效值也不相等，根据P＝可知，两电阻的电功率也不相等，选项A、D错误；因两线圈放在同一个旋转磁铁的旁边，则两线圈产生的交变电流的频率相等，选项B正确；当磁铁的磁极到达线圈轴线时，磁通量变化率最大，感应电动势最大，由题图可知两线圈产生的感应电动势不可能同时达到最大值，选项C错误．
3．一只低压电源输出的交变电压为U＝10sin 314t (V)，π取3.14，以下说法正确的是( )
A．这只电源可以使“10V 2 W”的灯泡正常发光
B．这只电源的交变电压的周期是314 s
C．这只电源在t＝0.01 s时电压达到最大值
D．“10V 2 μF”的电容器可以接在这只电源上
答案 A
解析 这只电源交变电压的峰值Um＝10 V，则有效值U有＝ V＝10V，所以这只电源可以使“10 V 2W”的灯泡正常发光，故A项正确；ω＝314 rad/s，则T＝＝0.02s，故B项错误；在t＝0.01s时，经过半个周期，电压为零，故C项错误；当电容器的耐压值小于峰值时，电容器被击穿，10 V小于10 V，则“10 V 2μF”的电容器不能接在这只电源上，故D项错误．
4.(多选)如图所示，图线a是线圈在匀强磁场中匀速转动时所产生正弦式交变电流的图像，当调整线圈转速后，其在同一磁场中匀速转动过程所产生正弦式交变电流的图像如图线b所示．下列关于这两个正弦式交变电流的说法中正确的是( )
A．在图中t＝0时刻穿过线圈的磁通量均为零
B．线圈先后两次转速之比为3∶2
C．交变电流a的电动势瞬时值表达式为e＝10sin(5πt) V
D．交变电流b的电动势最大值为 V
答案 BCD
解析 由题图可知，在t＝0时刻线圈均在中性面位置，穿过线圈的磁通量最大，A错误；由图像可知Ta∶Tb＝2∶3，故na∶nb＝3∶2，B正确；由图像可知，交变电流a的电动势最大值为10V，ω＝＝rad/s＝5πrad/s，所以交变电流a的电动势瞬时值表达式为e＝10sin(5πt)V，C正确；交变电流的电动势最大值为Em＝NBSω，故Ema∶Emb＝3∶2，知Emb＝Ema＝ V，D正确．
5.某研究小组成员设计了一个如图所示的电路，已知纯电阻R的阻值不随温度变化．与R并联的是一个理想的交流电压表，D是理想二极管(它的导电特点是正向电阻为零，反向电阻为无穷大)．在A、B间加一交流电压，其瞬时值的表达式为u＝20sin 100πt(V)，则交流电压表的示数为( )
A．10 V B．20 V C．15 V D．14.1 V
答案 D
解析 二极管具有单向导电性，使得半个周期内R通路，另外半个周期内R断路，在通路的半个周期内，交流电压的有效值为20 V，有T＝·，解得U＝10 V≈14.1V，选项D正确．
6．(2018·全国卷Ⅲ·16)一电阻接到方波交流电源上，在一个周期内产生的热量为Q方；若该电阻接到正弦交流电源上，在一个周期内产生的热量为Q正．该电阻上电压的峰值均为u0，周期均为T，如图所示．则Q方∶Q正等于( )
A．1∶ B.∶1
C．1∶2 D．2∶1
答案 D
解析 由有效值概念知，一个周期内产生的热量Q方＝·＋·＝T，Q正＝T＝T＝·T，故Q方∶Q正＝2∶1，故选D.
7．(多选)如图所示，一个半径为r的半圆形线圈，以直径ab为轴匀速转动，转速为n，ab的左侧有垂直于纸面向里(与ab垂直)的匀强磁场，磁感应强度大小为B.M和N是两个集流环，负载电阻为R，线圈、电流表和连接导线的电阻不计，若图示位置为初始时刻，则( )
A．感应电动势的最大值为2π2Bnr2
B．从图示位置起到转过转的时间内，负载电阻R上产生的热量为
C．从图示位置起到转过转的时间内，通过负载电阻R的电荷量为
D．电流表的示数为
答案 BCD
解析 感应电动势的最大值为Em＝BSω＝B··2πn＝π2Bnr2，A错误；因线圈只在半个周期内有电流，因此由有效值的定义得·＝T，解得感应电动势的有效值为E＝＝，则电流表的示数为I＝＝，D正确；从题中图示位置起到转过转的时间内，负载电阻R上产生的热量为Q＝·＝××＝，B正确；根据＝，＝，q＝Δt，联立解得q＝，则从题中图示位置起到转过转的时间内，通过负载电阻R的电荷量为q＝，C正确．
8．(多选)(2023·陕西咸阳市模拟)如图所示，发电机内部线圈处于磁体和圆柱形铁芯之间的径向磁场中，磁体的N、S极间的过渡区域宽度很小，可忽略不计．线圈的匝数为N、面积为S、总电阻为r，线圈所在位置的磁感应强度大小为B.当线圈以角速度ω匀速转动时，额定电压为U、电阻为R的小灯泡在电路中恰能正常发光，则( )
A．发电机输出的电流为矩形波交流电
B．灯泡两端电压U＝NBSω
C．感应电动势的有效值是(1＋)U
D．转动过程中穿过线圈的磁通量始终为零
答案 AC
解析 线圈在径向磁场中做切割磁感线运动，产生的感应电动势大小不变，方向做周期性变化，发电机输出的电流为矩形波交流电，A正确；线圈以角速度ω匀速转动时，根据法拉第电磁感应定律，则有感应电动势的最大值为Em＝NBSω，因磁场是辐向磁场，线圈切割磁感线的有效速度大小不变，所以发电机产生的感应电动势的有效值E＝NBSω，灯泡两端电压U＝R，B错误；根据闭合电路欧姆定律，电源电动势大小为E＝(R＋r)＝(1＋)U，C正确；若转动过程中穿过线圈的磁通量始终为零，则不会产生感应电动势，D错误．
9．(多选)如图甲所示，电阻不计、面积S＝0.04 m2的固定矩形线圈水平放置，与线圈平面垂直的空间有均匀分布的匀强磁场，磁场的磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示．此时与线圈连接的额定电压是40 V的灯泡正常发光，氖泡两端瞬时电压达到40 V时开始发光．下列说法正确的是(不计灯丝电阻随温度的变化)( )
A．氖泡两端电压的瞬时值表达式为u＝40·cos 100πt (V)
B．矩形线圈匝数N＝50匝
C．氖泡的发光频率为50 Hz
D．若将氖泡换成一个耐压值为40 V的电容器，电容器可以安全工作
答案 AB
解析 根据法拉第电磁感应定律可知，矩形线圈中会产生周期为0.02 s的正弦式交流电，因为小灯泡正常发光，其两端电压有效值为40 V，因此原线圈两端电压的瞬时值表达式为 u＝40cos100πt (V)，A项正确；线圈产生的正弦式交流电电动势的最大值Em＝NBSω＝40V，解得N＝50匝，B项正确；一个周期内，氖泡发光两次，因此氖泡发光频率是交流电频率的两倍，为100 Hz，C项错误；电容器的击穿电压(耐压值)指的是电压的最大值，题述交流电压的最大值大于40 V，所以耐压值为40 V的电容器接在氖泡位置将被击穿，D项错误．
10.如图所示，间距为L的光滑平行金属导轨，水平地放置在竖直向上且磁感应强度大小为B的匀强磁场中，一端接阻值为R的电阻．一有效电阻为r、质量为m的导体棒放置在导轨上，在外力F作用下从t＝0时刻开始运动，其速度随时间的变化规律为v＝vmsin ωt，不计导轨电阻．求：
(1)从t＝0到t＝时间内，电阻R上产生的热量；
(2)从t＝0到t＝时间内，外力F所做的功．
答案 (1)()2 (2)
解析 (1)由导体棒切割磁感线产生感应电动势有E＝BLv，得e＝BLvmsin ωt
回路中产生正弦式交变电流，其有效值为
E有效＝
在0～时间内，电阻R上产生的热量
Q＝()2R·＝()2.
(2)由功能关系得：外力F所做的功W＝Q＝.
11.(2023·山东德州市模拟)如图所示，坐标系xOy的第一、四象限的两块区域内分别存在垂直纸面向里、向外的匀强磁场，磁感应强度的大小均为1.0 T，两块区域曲线边界的曲线方程为y＝0.5sin 2πx(m)(0≤x≤1.0m)．现有一单匝矩形导线框abcd在拉力F的作用下，从图示位置开始沿x轴正方向以2 m/s的速度做匀速直线运动，已知导线框长为1 m、宽为0.5 m、总电阻为1 Ω，开始时bc边与y轴重合．则导线框穿过两块区域的整个过程拉力F做的功为( )
A．0.25 J B．0.375 J
C．0.5 J D．0.75 J
答案 D
解析 导线框位移为0≤x≤0.5m过程，只有bc边在磁场中切割磁感线，产生的电动势大小为E1＝Byv＝sin 2πx (V)，此过程所用时间为t1＝ s＝0.25s，此过程的最大电动势为E1m＝sin(2π×0.25)V＝1.0 V，导线框位移为0.5 m<x≤1.0 m过程，bc边和ad边都在磁场中切割磁感线，产生的电动势方向相同，则导线框的电动势大小为E2＝2|sin2πx| (V)，此过程所用时间为t2＝ s＝0.25s，此过程的最大电动势为E2m＝2|sin(2π×0.75)|V＝2.0 V，导线框位移为1.0 m<x≤1.5 m过程，只有ad边在磁场中切割磁感线，产生的电动势大小为E3＝sin2πx (V)，此过程所用时间为t3＝ s＝0.25s，此过程的最大电动势为E3m＝sin(2π×1.25)V＝1.0 V，则此过程中导线框的感应电动势随时间变化如图所示
根据Q＝t，可知此过程导线框产生的焦耳热为Q＝×0.25J＋×0.25J＋×0.25J＝0.75 J，根据能量守恒可知导线框穿过两块区域的整个过程，拉力F做的功为0.75 J，D正确，A、B、C错误．
12．(多选)如图所示的正方形线框abcd的边长为L，每边电阻均为r，在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场中绕cd轴以角速度ω匀速转动，c、d两点与一阻值为r的电阻相连，各表均可视为理想电表，导线电阻不计，则下列说法中正确的是( )
A．线框abcd产生的电流为交变电流
B．当S断开时，电压表的示数为零
C．当S断开时，电压表的示数为BωL2
D．当S闭合时，电流表的示数为
答案 ACD
解析 线框abcd绕着垂直于磁场的轴匀速转动，故产生的电流为交变电流，故A正确；产生的交流电的电动势最大值为Em＝BL2ω，有效值为E＝，当S断开时，电压表测量的电压为cd间的电压，故U＝E＝BL2ω，故B错误，C正确；当S闭合时，电路总电阻为3r＋，ab中的电流为I＝＝BL2ω，电流表的示数IA＝＝，故D正确．
