前两小题送分内容,难点在于最后一个小题的两问;
(1)∠ACE'无脑送分部分;
(2)互余和相等的角都给出了,很明显就是写个勾股定理,
∴AD²+DE²=AE²;
(3)
①证明角互余,那么就要寻找存在直角三角形
O是垂直平分线的交点,那么不就是外接圆的圆心吗
∴如果连接OC,那么∠D就是圆心角∠AOC所对应的圆周角
则∠AOC=2∠D
再过O向AC做垂线,并延长交BC于E,垂足为F
可知OE垂直平分AC,且OE//AB
则EF为△ACB的中位线
可得E为BC中点,
BC是斜边,有斜边中点,很容易想到斜边中线
所以连接AE
如图,可知∠D=∠AOE
而∠AOE+∠OAC=90°
结合∠OAC=∠B
则∠AOE+∠B=90°
∴∠D+∠B=90°成立;
②这一小题是本题最难的一部分,没有特殊角度,仅有一个AB/AC=2这个条件,从这一个条件可以得出tan∠ACB=2
但是题上要的是BD长度
而BD和这个tan∠ACB扯不上关系
∴这个2倍关系肯定不仅仅是这个用处
那么就要想想线段之间的倍数关系还能干嘛
线段倍数关系不就是成比例吗?
∴很有可能是构造相似三角形
但是图上根本看不出来
这个时候就要结合一下前面的几个小题,看看有没有什么隐藏的线索
第(2)和(3)中的①都有互余,会不会这一小题也要用到互余呢?
我们可以利用图(2)的构造来设想将互余的角给搞到一起
∴过D做AD的垂线DM,并且过C做DM的垂线CN,垂足为N
则有∠CDN=∠ABC
且△DNC∽△BAC,
△DNC和△BAC形状相同,且都绕同一顶点C
这不是符合同样形状的三角形绕共顶点构造旋转相似吗
∠DCN和∠ACB共顶点,还相等
那么共同加上∠ACD这一部分后不是还相等吗
∴∠ACN=∠DCB
而题上要的是BD长度,BD有关的三角形仅有△ABD和△BCD
△BCD包含了刚才的∠DCB
如果我们连接AN,则有△ACN,且和△BCD有一个相等的角
只要△ACN和△BCD相似,就可以得到AN:BD=CN:CD=1:√5
CA:BC也是1:√5吧?
那么就有对应边成比例且夹角相等
∴相似成立
其中CN=√5n/5,CD=n
而AN未知,只要AN搞定了,就可以得到BD
观察AN,其实在图(2)就已经出现了
AN²=AD²+DN²=m²+4n²/5
∴BD²=5AN²=5m²+4n²
则BD=√(5m²+4n²)
既然是旋转相似,除了按照图(2)去构造,还可以以点A为旋转点来构造
如图,过D做CD的垂线,过A做AD的垂线,二者交于M
则∠ADM=∠ABC
∴可得AD/DM=2√5/5
可得DM长度=√5m/2
Rt△CDM中,勾股定理可得CM长度=√(5m²/4+n²)
同样利用AM:AD=AC:AB=1:2且∠MAC=∠DAB
可得△MAC∽△DAB
∴CM:BD=1:2
则BD=2CM=√(5m²+4n²);
相比之下,这第二个构造的方法好像比刚才第一种要精简一些;
总结一下这道题,就是最后的AB和AC倍数关系的运用,如果仅仅只看到了锐角三角形函数,那么肯定无法和BD相关,而BD明显不太可能放入直角三角形中去用勾股定理,∴要求这个未知线段,以我们学过的知识,就只剩下相似比例了,因此只要能联想到AB/AC=2可以构造相似比例,那么就打开了这一题的思路;
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