这道题是比较有难度的,前面的基础题型看着难度不大,而且网上别人反映的前面的题目还是比较容易的。
这道题主要用到的是圆的知识,虽然图上没有,但是如果联想不到圆的知识点,那么就会难上加难。
(1)
第一小题给了BD=CE,还有∠BCD=∠CBE,条件看着很苛刻,好像根本就没法用,特别是BD=CE,毕竟有线段和角相等 ,给人的第一印象就是考虑全等,但是这图去哪全等呢。
所以就要换个思考方式,首先两个角相等,可知BF=CF,等腰△BFC,而且题干上∠A=60°,很容易想到圆周角,但是貌似行不通。
那么关键就在于这个BD=CE,而且还给个AB>AC,这条件让人懵逼,线段比大小,没玩过呀,其实结合已知条件会发现,这就是咱们学全等时那个典型的SSA问题,所以如果将CE给转换一下位置,变成SAS型,图形不就看着顺眼了吗?
如图,在AB上找一点H,连接CH交BE于G,使得CH=BH
则可得CG=BD=CE
∴∠CEB=∠CGE=∠BGH=∠ADC(过程略)
则可得A、D、F、E四点共圆
∴∠CFE=∠A=60°
(2)
如果说第一小题就有难度了,那么第二小题无疑是难度倍增
条件变成了AB=AC,BD=AE,∠ACM=60°,N是MF中点,其他东西都能在图上看到,虽然变成了等边△ABC,但是N这个位置有点扯呀,CN是中线,但是∠DCM不一定是直角,所以直角三角形的性质用不上,那么倍长中线?倍长也没用呀,BF和CF没法扯一块去。
∴这个中点不是这么用的,那么想想中点还能干啥?除了中线,还有中位线吧
那么将CN变成中位线的话,可以过F作辅助线,或者过M做辅助线,但是究竟选哪个呢?
如果过M做辅助线,好像和BF、CF也没有联系,那么过F做的话,刚好和BF、CF共端点了
∴过F做CN的平行线,并且延长MC,二者交于点K
既然是中位线,那么CK=CM也就成立了,所以可得CK=BC,而且∠BCK是60°,那么连接BK,不就有等边了?
如此,KF=2CN,但是BF和CF好像还是联系不上,那么现在△BCK是等边了,有等边就要能想到旋转
∴将△BKF绕点K顺时针旋转60°使BK与KC重合,点K落到点O处
可得F、C、O三点共线,则△KFO为等边,∴OF=KF
而OF=OC+CF=BF+CF
所以BF+CF=KF=2CN
(3)
第三小题直接写答案,那肯定就是很复杂的过程了
这一小题过程有点多,还有根号
∴就不叙述了,说一下方法,同学们自己试试吧
图上的点L是△BFC的外接圆的圆心,按照题上要求,PF最短的时候就是这个样子了
∵F是在以L为圆心的圆弧上运动,∴连接PL,当F在PL上时,PF最短
我们假设BC=2的话,可以计算出∠APL的三角函数值,方便后面计算
要得到PQ长度,那么就要知道PK的长度,因为PK=QK,∴△PKQ是等腰直角,那么PQ=√2PK
但是PK不太好计算
∴我们过H向PF作垂线,假设为点R,则可得垂线段HR长度,就不再画图了
同时还可以计算出PR长度
而△HRK可知为等腰直角,∴KR可得
则PK长度可得
从而计算出PQ
按照我们假设的BC=2,计算出PQ长度为
∴PQ/BC的值可得;
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