中考数学倒计时3：二次函数中等腰三角形和正方形问题分析

如图，直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=a（x-2）²+k经过点A和点B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P，点Q在抛物线对称轴上，

（1）求a、k的值；

（2）若△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点N，使四边形APCN为正方形？若存在，则求正方形APCN的边长；

（1）由一次函数求出点A和点B的坐标，

A（1，0），B（0，3）

将A和B的坐标代入抛物线求出a和k，

a=1，k=-1，

（2）对称轴x=2，根据A和B的坐标可得到AB的中点D坐标（1/2，3/2），

我们过点D作AB的垂线，交x轴与E，与对称轴的交点即为点Q，那么下面就是求出点Q的坐标，

如图，直线DQ为AB的垂直平分线，那么△ABQ就是以AB为底边的等腰三角形，

我们可以利用∠OAB的三角函数正弦值，以及AD的长度，来求出AE长度，

顺便得到点E的坐标，

那么就有点D和E的坐标，进而求出直线DE的解析式，

与对称轴相交，求出点Q坐标即可；

此为方法一；

那么方法二，

当然是利用线段相等了，设出Q的坐标（2，y），

那么表示出线段AQ和BQ的长度，二者相等，

解方程得到y值即得到点Q的坐标，具体计算略过；

（3）由前面的过程可以得到△APC是等腰直角三角形，

那么只需要对称轴上的点N和AC组成等腰直角△ANC即可，

所以点P和点N关于x轴对称，

那么N的坐标就得到了，

正方形APCN的边长也就是PA的长度，求出即可；

这道题并不算难，所以今天再多分享一道题，具体内容请看第二篇推送。