外心和垂心扯出来的线段关系

点O为△ABC的外心，AD⊥BC于D，CE⊥AB与E，AD与CE相交于H，作OG⊥BC于G，求证：AH=2OG；

这道题有经验的人能够看出是一种定理关系，但是对于同学们来说，可能就算得上一道较难的证明题了。

从图中可以看出OG和AH这哪跟哪呀，两个看似八辈子打不着关系的线段要证明2倍关系，首先会让人摸不着头绪；

那么我们不妨来看看OG这个较短的线段，想要找到它的2倍长线段，

那么要么直角三角形斜边中线，要么30°角的对边，要么中位线，

直角三角形这里貌似是不现实了，

但是O是外心，那么OG就是垂直平分线了，

所以中位线是希望很大的，

如何构造中位线就成了最大问题。

可能有同学就会想到在点C处作一个与AH等长的垂线，

假设为CF，但是连接BF后，并不能说明点O是在BF上，

所以做辅助线的说法也是要讲究方法，

既然我们必须要让点O是中点，那么就连接BO，并延长，

同时在点C处作垂线，使二者相交于点F

如图，这样OG就是中位线了，

可以得到CF=2OG，

那么接下来只要证明CF=AH即可；

现在CF和AH明显是平行，要证明其相等，

而且其肯定是相等的，那么两个线段平行且相等，

平行四边形很容易想到，

所以我们连接AF，

只要证明AHCF是平行四边形即可，

要证明其是平行四边形，那么得让另一组对边平行，

我们知道CE⊥AB，那么AF是否和AB垂直呢？

这个时候不妨再连接OA，

根据前面的基础，就可知道OA=OB=OF，

那么∠BAF=90°成立，

所以AF//CE，

则AHCF为平行四边形，

所以AH=CF，

那么AH=2OG成立；