点O为△ABC的外心,AD⊥BC于D,CE⊥AB与E,AD与CE相交于H,作OG⊥BC于G,求证:AH=2OG;
这道题有经验的人能够看出是一种定理关系,但是对于同学们来说,可能就算得上一道较难的证明题了。
从图中可以看出OG和AH这哪跟哪呀,两个看似八辈子打不着关系的线段要证明2倍关系,首先会让人摸不着头绪;
那么我们不妨来看看OG这个较短的线段,想要找到它的2倍长线段,
那么要么直角三角形斜边中线,要么30°角的对边,要么中位线,
直角三角形这里貌似是不现实了,
但是O是外心,那么OG就是垂直平分线了,
所以中位线是希望很大的,
如何构造中位线就成了最大问题。
可能有同学就会想到在点C处作一个与AH等长的垂线,
假设为CF,但是连接BF后,并不能说明点O是在BF上,
所以做辅助线的说法也是要讲究方法,
既然我们必须要让点O是中点,那么就连接BO,并延长,
同时在点C处作垂线,使二者相交于点F
如图,这样OG就是中位线了,
可以得到CF=2OG,
那么接下来只要证明CF=AH即可;
现在CF和AH明显是平行,要证明其相等,
而且其肯定是相等的,那么两个线段平行且相等,
平行四边形很容易想到,
所以我们连接AF,
只要证明AHCF是平行四边形即可,
要证明其是平行四边形,那么得让另一组对边平行,
我们知道CE⊥AB,那么AF是否和AB垂直呢?
这个时候不妨再连接OA,
根据前面的基础,就可知道OA=OB=OF,
那么∠BAF=90°成立,
所以AF//CE,
则AHCF为平行四边形,
所以AH=CF,
那么AH=2OG成立;
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