每周中考题：一道小题，很不简单

平面上一动点P到长为10的线段AB所在直线的距离为3，当PA·PB取得最小值时，求PA+PB的值；

这道题的题目倒是很短，

那么根据经验，我们可以判断出来过P向AB作垂线的垂足肯定要在线段AB上，

我们不妨画个图看看，

如果对解题思路比较有兴趣，不妨看完过程，再看一下最后部分老师自己解这道题的灵感和提示；

假设AC=x，则BC=10-x，

然而PA·PB是个什么玩意呢？

三角形的两个邻边相乘，难不成求面积？

但是也没说是直角三角形，

但是我们可以计算出来△PAB的面积是15，

那么PA·PB是否可以去计算三角形的面积呢？

以PB为底，三角形的高AD=PA·sin∠APD，

那么S=PB·AD=PB·PA·sin∠APD，

只要由于S=15是定值，

所以PA·PB如果最小，那么sin∠APD必须去最大值，

一个正弦的最大值不就是1吗？

所以当∠APD=90°时，PA·PB最小，

也就是∠APB=90°，

那么就好办了，

PC²=AC·BC，AC+BC=10，

所以AC=1，BC=9，或者二者互换，

不管是哪一种，PA+PB肯定是不变的，

后面就不用多说了；

这道题所需要的就是思维转换，本来我们很清楚PA和PB两个都是不定的，要用勾股定理的话，还有根号，4次方都能出现，所以往往到这里，我们会觉得只是计算太复杂了，很多同学都会犯这个错误，认为其实自己都会，但是问题是我们解不出来，所以并不是我们知道方法，而是思考方向不对。这个时候就需要仔细去分析一下AB=10，PC=3，和PA·PB分别都能干什么。

AB和PC都是固定值，也就是可以确定△PAB的面积，起初可能不知道有什么用，但至少有了面积这个东西，

而PA·PB由于∠APB不知，所以要往面积上去联系，必须能想到三角函数，一旦我们抓住三角函数求面积的灵感，那么就能轻易将PA·PB和面积放在一起，接下来就是讨论最小值情况，后面就会显得so easy了；