分析:
当P在BC上且与A距离最短时,一看就知道是AP⊥BC的时候,所以比较简单;
P在MB上的时候,可知PQ//BC,所以可得△APQ和△ABC的相似比,进而得面积比,那么PQ所分的上下两部分面积之比即可得;
要找点P到AC的距离,题上问题已经给出了分为两个阶段,所以我们只要分类讨论即可,但不管是哪一种,我们都需要过P向AC所在直线作垂线,那么P在AB上时,垂足肯定落在CA延长线上,但是貌似距离不太好求,如果知道点到直线的距离公式那就好办了,但是初中阶段没有这玩意儿,所以我们待会用三角函数来搞定;当P在BC上时,∠C是不变的且三角函数值已知,所以可直接利用∠C来解决;
K被扫描,我们得先分析出什么情况下能被扫描到,P在AB上的时候,一直可以,但是当P在BC上向右移动时,Q从C上开始向A移动,移动到K之后,就要进入K不被扫描的阶段了,但是当P过BC一半后,Q又会向C移动,所以K又可能会进入扫描区域;
解答:
(1)P在BC上时,距离A最近的地方,BC中点处,刚好△ABC还是等腰,三线合一,△APB、△APC为直角三角形,根据tan∠C可得AP长度3;
(2)当P在MB上,上下面积4:5时,我们假设AP长度为x,那么根据条件可知AB=AC=5,所以△APQ和△ABC的相似比为x:5,面积比则为x²:25,
所以△APQ和四边形PBCQ的面积比则为x²:(25-x²)=4:5,解出x=10/3,
则MP=AP-AM=4/3;
(3)先看0≤x≤3,即点P在AB上时,
过P做PD⊥CA延长线于D,那么我们要找的就是PD的长度;
但是在△APD中,虽然是直角三角形,但是角度我们都不知道,而且我们只知道PA=2+x,但是AD不知道,也无法直接用勾股定理,
但是,仔细观察的话,会发现这个PD不就是△APQ中AQ边上的高吗
既然可以看做高,那么就可以想想是否可以用面积来搞定,
S△APQ=0.5AQ·PD,
那么再以PQ为底的时候,此边上的高就好像有点容易求出来,
如图,作AE⊥PQ于E,那么根据AP=2+x可得
AE=1.2+0.6x
PQ=2PE=3.2+1.6x
所以根据面积计算可得
PQ·AE=AQ·PD,同时AQ=AP
所以PD=PQ·AE/AQ=(3.2+1.6x)(1.2+0.6x)/(2+x)=1.6(1.2+0.6x)=0.96x+1.92
再看3≤x≤9时,P在BC上
如图,PF⊥AC于F,当然还可能F在CA延长线上,
那么在△CPF中,直角三角形,tan∠C已知,
所以PF=0.6PC=0.6(11-x)=6.6-0.6x
最后再来个综上所述即可;
(4)这一问就比较扯淡了,直接写答案,谁都知道这类问题的计算过程都是比较复杂的,所以才让直接写答案,
当P在AB上时,
我们知道PQ//BC,而AK>AM,
所以当AP=AK时,Q即移动到了K处,那么∠APQ就扫描到了K点,
AP=9/4,
而P从M到N一共用36秒,路程一共9,
所以速度为每秒0.25
而MP=AP-AM=1/4,
所以用时1秒,也就是说1秒后K就开始被扫描到了
那么等到P在BC上时,
如图,当P再向右移动时,为了让∠APQ保持不变,Q肯定会向A移动,那么就会出现Q经过K,只要Q过K点,那么K就不再被扫描到了,
所以我们要搞清楚Q到K的时候,点P在什么位置
由于∠APQ是固定不变的而且还等于∠B和∠C,很容易想到利用相似,
但是谁和谁相似呢
我们得看看图中的三角形,△ABP、△APQ、△PCQ和△ABC
△APQ由于是变化的,和其他的三个肯定不能保持相似状态
而△ABC又是等腰,所以其他三个也找不到和它相似的
那么就剩下△ABP和△PCQ了,
刚好∠B=∠C,剩下的角是否相等呢
∠APC为△ABP的外角,且∠APC=∠B+∠BAP
而∠APC又是∠APQ+∠CPQ
且∠APQ=∠B
所以∠CPQ=∠BAP
那么两个三角形相似
∴BP:CQ=AB:CP
BP=x-3,AB=5,CP=11-x,
而我们要的是CQ=CK时,所以CQ=11/4
(x-3):11/4=5:(11-x)
代入可得x=5.5或8.25
对应时间22秒和34秒
为什么有两个结果呢
我们知道在P过BC中点之前,Q肯定会向A移动经过K,
而当P过了BC中点向N移动时,Q又会向C移动经过K,
不信的话你可以让P在N处自己算算Q在哪
所以在1秒时,Q过K,且K开始被扫描,在22秒时,Q又过K,此时K不被扫描了,在34秒时,Q又过K,K又进入扫描区,直至36秒,
那么K被扫描的时间
t=(22-1)+(36-34)=23秒;
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