实数复习讲义
一、基本概念
1. 实数是指包括有理数和无理数在内的所有数，可以用数轴上的点表示。
2. 有理数是指可以表示成两个整数的比的数，包括整数、分数和小数。
3. 无理数是指不能表示为两个整数的比的数，包括无限不循环小数、代数无理数和超越数等。
二、实数的分类
1. 正数和负数：零以上的实数为正数，零以下的实数为负数，零既不是正数也不是负数。
2. 绝对值：一个实数 a 的绝对值是它到零点的距离，即 |a| = a（a≥0）或 |a| = -a（a<0）。
3. 数轴：实数可以用数轴上的点表示，数轴是由原点和正负半轴组成的直线。
4. 数段：数轴上，两个实数点之间所覆盖的线段称为数段，一个数段也可以表示为一个区间（开区间或闭区间）。
三、实数的运算
1. 加减法：实数的加减法遵循相反数原则，即对于任意实数 a，有 a+(-a)=0。
2. 乘除法：实数的乘除法遵循乘积与积的符号相同、除数与商的符号相同的原则。
3. 指数运算：指数运算可以用幂次方表示，具有乘积法则和幂次法则等基本运算法则。
四、实数的性质
1. 实数具有结合律、交换律和分配律等基本运算性质。
2. 实数的对称性：对于任意实数 a 和 b，有 -(-a)=a 和 -(a+b)=(-a)+(-b)。
3. 实数的排序性：对于任意不同的实数 a 和 b，有 a<b、a>b 或 a=b，这是实数有序性的体现。
4. 实数的密度性：在任意两个不同实数之间，总能找到有理数和无理数，这表明实数具有无穷分割性和无限可比性。
五、应用
1. 实际问题中的实数应用：例如在经济分析、物理计算和统计调查等问题中，经常需要用到实数的运算、比较和证明等技巧。
2. 数学竞赛中的实数应用：例如初中和高中阶段的奥数和竞赛中，经常涉及到实
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