【题记】
我没有什么特殊的才能,不过是喜欢寻根刨底地追究问题罢了。——爱因斯坦
在终极的分析中,一切知识都是历史。在抽象的意义下,一切科学都是数学。在理性的世界里,所有的判断都是统计学。——统计学家C. R. Rao
一、缘起
童年是一个美丽的字眼。孩子的童年留下了美丽的童话书、好玩的游戏、清脆的歌声、淘气的玩伴、敬佩的老师、不为人知的秘密……
但是我要问的是:数学在孩子们的童年中留下了什么呢?
二、我的数学童年
作为教几十年数学的我,数学在我的童年中留下了怎样的记忆呢?
我记得我数学书上我毛主席语录:人的正确思想是从哪里来的?是从天上掉下来的来?不是。是头脑中固有的吧?也不是。人的正确思想是从实践中来的……,还有“阶级斗争在天天讲、月月讲、年年讲……
我记得小学是五年制的,数学五年级时,遇到一个丛老师,有一道数学题,至今记忆犹新,如下:
它的计算方法有两种,一种是先算一半树叶的面积,再乘2,(S扇形-S三角形)×2;第二种是扇形面积×2-正方形。对于第二种解法,我开始一直想不通,后来老师用纸片剪裁,做了演示,我恍然大悟!
一个图形面积的计算,为什么在我记忆中为什么能够留存这么久?它是审美性,奇特的解法,还是其它?
我小学的数学,还有其他的留存吗?
诸如此类的一分数加减法,我是在数学老师《算得快》这本书中学得的,多么奇妙啊,一下子就把我吸引了,从此对此书乐此不疲了。
人与狗赛跑的故事,还有苏步青爷爷的故事,使我难忘。
烙饼的策略,也是好玩的,需要动一点点脑筋的。
那是另外一本书《趣味数学100题》给我的童年数学留下了深刻的印象。
于是,从小喜欢数学,爱上数学课,成绩不在话下,如今已经是几十个年头了,还是依然为之痴迷,估计要陪我慢慢变老了。
这是一种数学文化的力量!
三、神奇的数学孩子们为什么不喜欢?
文化是什么?就是在不知不觉中,让你浸润的东西,让你熏陶的东西,润物细无声,涓涓滴滴,让你在潜移默化中被拉下马,迷惑住,这就是文化!数学概不例外!
茫茫宇宙、漫漫人生,数学的挑战无处不在,对数学问题的思考与研究也无处不在。
曾几何时,数学为中国古代”六艺之一。数学被古希腊学者视为哲学之起点,希腊语“数学”的意思是“科学、知识、学问”——由此可知,数学是“学问的基础”。
曾几何时,数学是一门神秘而充满魅力的学科,勾股定理是几何学中的明珠,千百年来,许多人都去尝试证明这一定理,其中有著名的数学家、画家,也有业余数学爱好者,有普通的老百姓,也有尊贵的政要权贵,甚至有国家总统。
曾几何时,著名的“哥德巴赫猜想”诱发了无数人的好奇心,激活了人们无尽的智慧。
总之,数学的高度抽象性和严谨逻辑性,有利于培养学生的探究意识,有利于学生通过观察实验、尝试猜想、合情推理、严格论证等主动地进行数学活动,提高自身的思维品质,发展逻辑思维、形象思维、创新思维和辩证思维能力。
但是,正因为数学的一些难度,也因为教学的原因(老师与家长等),或者孩子本身的原因,这门充满神秘与奇趣的学科,最终使孩子受挫,然后是渐渐不喜欢数学,或者只是因为要考试才学数学!
四、一个有意义的调查
核心素养风生水起。
何为核心素养?把记忆仓库打开,一定会一下子“蹦”出一些记忆的片段。比如,爱因斯坦在美国高等教育300周年纪念会演讲《论教育》中有这样的话:“如果人们忘掉了他们在学校里所学到的每一样东西,那么留下来的就是教育。”
何等准确、精彩!
“忘掉的”是具体的内容、知识等,而“留下来的”是不是核心素养呢?
也许,因为“留下来的”,业已经过积累、迭代、沉淀,其核心素养的色彩越发鲜明?
教学中,我们特别要关注究竟哪些是应该留下来的,透过知识究竟让学生看到什么。
于是,我在2016年上半年,进行了一个调查。调查题目是:小学数学6年的学习生活中,你印象最深的是什么?对象是学校六年级的学生。
以下是概括部分学生的回忆录,整理出来的摘要。
【六2班,周志诚】
在五年级时我们学分数,老师给我们出了一道题:
我见到这一连串数字,就不知道如何下笔。
于是,老师给我们画了一张图,我见到这张图后,发现只有一个小格子没有涂满,于是,我写下了:
后来,老师在我的算式上增加了一些。我恍然大悟。
(周昱祥也有类似的回忆)
【六2班,杨天博】
大约在我上小学二年级还是一年级时,具体的时间我记不清了。那时,我们我们刚刚接触到和单数,也就是现在的偶数和奇数,那时老师就是那样教的(单数与双数)。
一个周末,妈妈带我去上课,在路上,我沿途看到路边的路灯,突然一个奇怪的现象引起了我的注意,咦!这一侧的上的编号怎么都是单数呢?我把这一发现悄悄地埋在心里。下课后,我坐着妈妈开的车重新回去,这不,我又发现这条马路另一侧的路灯上面的数字竟然都是双数了。哈!我竟然发出了一个这么大大的秘密,一回到家,我便将这一发现告诉了父母,并将它写成了一篇数学小论文——《路灯上的数字真是奇妙啊!》。
【六2班,诰歌】
我印象最深的是,一次缪校长给我出的一个数学思维游戏题:转三个弯,连9个圈。
那一次,我苦苦想了几天,也没有想出答案,用了好多张纸,却一次也没有成功。但我现在还在继续实验,我相信早晚我会成功的。
【六3班,沈佳徐】
一天晚上,我抱着西瓜坐在沙发上,正准备吃。爸爸突然对我说,让我过去写两道数学题。第一题是:有一只小猴子掉入了深井,要爬上来,它每天爬5米,晚上掉落4米,井深10米,要几天才能爬上来?我心想,爬5米掉落4米,不就是每天爬1米吗?那就是10天喽!我把这个答案告诉爸爸,爸爸笔头笑着说不对,让我再想想。可我想了10分钟也想出来,爸爸这才告诉我,小猴子到了井口边还会向下再滑4米吗?不就直接走了吗?我这才恍然大悟,原来只要6天就行了。
过了一会儿,爸爸又问我一个问题:1个桃子3元,3个桃核换1个桃,18元最多可以吃到几个桃?这下我又不明白了,后来爸爸告诉我,有了两个桃核,可以向老板借一个桃,吃了后就有了3个桃核了,再把3个桃核还给老板。
【六6班,王宇航】
就在前不久,我看了一本书《数学历险记》,在里面有一个题目:两个人共同玩一个游戏,在一个桌子上摆满棋子,一次可以拿1个、2个或3个,看最后谁先拿到最后一个棋谁就输。
刚开始看到这道题,我绞尽脑汁也想不出有什么秘诀。在星期六的时候,我和好朋友又去玩这个游戏。经过很多次的尝试,终于发现了其中的奥秘:两个人玩得时候,必须先抢第一个拿,接下来就可以看别人拿了,别人拿几个自己就拿几个,最后按照棋子的数量拿,我掌握了必胜的宝典,和别人玩,我赢了,高兴得哈哈大笑。
【六×班,周婉婷】
在这六年的学习生活中,我记得我在四年级时的一次测验中,前面几道我很顺利地都完成了,可到最后一题时,我忘了。那道题我记得老师有讲过,可我却怎么也想不起来了。我想了好久也没想起来,我随便写了一题就交了。因为下课了。
这件事我到再在都还记得。到家后,我把草稿本拿了出来,想了一个小时左右,终于想出来了。我喜出望外,可又觉得很可惜,那时候我脑子怎么就没转弯。以后,如果我有题不会解,我会换一种思考方式解题。不会死板地只套一种公式。
【六2班,龚可豪】
我在六年级的时候,我们在三楼的数学空间里看到许多数学课外书,更没有许多数学玩具,比如七巧板、拼图、孔明锁等等,我们在那里玩得很开心。
(看来学校刚刚办起的“数学空间”,对激发学生的学习兴趣还是很有作用的。)
【六2班,朱骏豪】
在六年级的一节数学课上,老师给我出了一道题,这道题引起了我特别大的兴趣。
这是一道数手指的题目,老师让我们挨着在手指上来回数一数,数到100时,会在哪个手指上。
我们用了自己的手法,慢慢地我们知道了答案,可是计算是怎样计算出来的呢?我左思右想,还是没有答案。后来我把各数都除以4,求出的余数,从大拇指往后挨着数,就对了,这就是我想出的答案。
(这道题回忆的次数也是有很多人的。)
【六6班,徐雯君】
一次,妈妈买了一袋苹果。我拿起苹果就要吃,妈妈给我出了题考题:“你看这苹果,你要是能算出这苹果的体积我就给你吃。”这就让我犯难了,这苹果既不是圆柱,也不是长方体,这可怎么算呢?突然,我想到了一个主意。就是把苹果放在一个装了水的量杯里,水位上升了多少再乘以量杯的底面积还就对了?我把苹果的体积告诉了妈妈之后,妈妈高兴地笑了,我吃到了又大又甜的苹果。
【六6班,王珂悦】“胖子踢三角”——平方和公式
12+22+32+42+……202=?,一开始看到这个题目,我脑袋都炸了,什么啊,这也太难算了,结果在老师的讲解下,我发现原来它真的很可爱。
其实,解决这个题目有一个很有趣的方法——胖子踢三角。其实,平方和可以这样表示。(见纸条上的原创图一)
这场三角立在路上,一个胖子踢了一脚,于是三角就成这样了。(图二)
胖子见了,又踢了一脚,变成这样(图三)。
为了好算,我们弄成了三块(见下图四)。
结果下雨了,胖子把三块叠在一起,于是神奇的事情发生了。
中间的不太好算,我们就拿顶点的来算。每个加起来都是,而一共有(1+2+3+4……+n)个数,那就乘起来,最终简化后得出公式:
【六6班,钱志尧】
有一次,我在作文书中,看到一道题:一个西瓜横切两刀,竖切两刀,有几块皮?
我认为是3-1=2(块),3+2+2+2=9(块),可最后的答案是10块,这是为什么呢?爸爸也说答案印错了,这件事就这么过去了。
可是另外有一次,爸爸又买了一个大西瓜,我突然记起了那道题,于是我拿刀切好了西瓜,数了数,真的有10块皮。原来中间那块有两块瓜皮呢。
通过这个问题,我知道了:如果你被难题困住了,实践操作是解决问题的最好方法。如果你不确定答案,也可以来实践检验一下。
【六6班,樊陈安】
在三年级的一次放学途中,妈妈给我出了一道题,题目是:有一只表里被困在井里。它准备逃离这口井,早上它爬上来4米,晚上又滑落3米,井深20米,表里几天能爬出来?
我想了想,说是“20天”。可是,妈妈说:“不对。本想,它每天只能爬几米?”我说:“1米啊。”“那第17天的时候,它是不是就能爬出来了啊。”
我恍然大悟,说“是17天。它在第16天的时候,就在16米处,第17天早上就爬了4米,一共20米,16+4=20(米),所以它正好爬上来了。”
算出这道题,我心里美滋滋的。
(关于类似的这道题,有好几位同学都有这样的回忆,这到底能说明什么呢?)
【六3班,何雪】
在六年的学习生涯中,我对数学情有独钟,其中让我印象最深的是,我在五年级的下半学期做的一道题,至今让我记忆犹新。
那天,我坐在教室里,做着一张计算的测验,前面做得非常顺利,很简单的,very easy!可是,最后一道题,却难倒了我,窗外的天气也跟我的心情一样,下着大雨,我也心烦气躁,那道题是这样的:
1×2×3×4×5……×99×100的积的末尾有几个0?
我苦思冥想,可是还没有想出来,I’m think hard(我认真思考),直到现在,我依然没有想出来,我从不放弃,我相信我总有一天会想出来的,加油!加油!
(张艺孜也是回忆的这道题,她有了自己的答案:一个0的有20处,4个地方25、50、75、100是有两个0,共有24个0。)
【六×班,马鑫鑫】
在数学课上,教师叫我们做一张卷子,开始我做得很投入,可是到了最后,我碰到最后一道题,它是这样的:
5个裁判员给一名体操运动员评分,去掉一个最高分和一个最低分,平均得分是9.58分;如果去掉一个最高分,平均得分是9.46分;如果去掉一个最低分,平均得分9.66分。最高和最低分各是多少分?我到现在都不知道是什么呢?
(悬念心理与难题效应)
【六3班,付叶青】
在小学六年的数学学习中,我印象最深的是这样一道题:有一个高人,在卖桃子,2角钱一个,3个桃核换一个桃子。一个路人来买桃子吃,他有1元,可以吃到多少个桃子?
(类似的酒瓶换酒与桃核换桃的题目,学生印象都很深刻。有6人回忆到这样的题目。)
【六5班,班梁晴希】
在小学六年的数学学习中,我印象最深刻的一道题是:从前一一个国王,他去世了以后,正好他的妻子怀孕了。世人要根据他的遗嘱来分配他的遗产。遗嘱上是这样说的:如果他的妻子给他生的是一个儿子,那么儿子可得到2份财产,妻子就得到1份财产;如果他的妻子生的是一个女儿,那么女儿会得到1份财产,而妻子可得到2份财产。可是问题是,他的妻子正好生了一对双胞胎是龙凤胎,正好一儿一女,那么这批财产又该如何分配呢?
【六6班,华顺】
有一次,爸爸问了我一道题:一只鞋子55元,亏本卖每只45元。他卖了一双鞋给顾客,顾客付了他一张假币100元的,老板去和邻居换零钱,邻居发现了是张假币,老板只得赔给邻居100元,老板一共亏了多少元?
【六6班,卢佳宁】《钓鱼》
老爸在四年级的时候,给我出了一道“难题”,问题是这样的:
A、B、C三人去钓鱼。突然A说:“我去上趟厕所,马上回来。”但是,B和C等了半天,还没等到A,B说:“你看好鱼,我去找找A!”C又等了半天,A和B都没有回来,C想:我还是去找找A和B,鱼应该没人偷。于是,C去找A和B了。C刚走,A就回来了,他以为B和C也是去厕所了,就把鱼分成三份,A拿走其中的一份。但多了一条,就扔了。过了一会儿,B回来了,B他等不及了,也就把鱼分成三份,B拿走其中的一份,但也把多出的一条扔了。过了一会儿,C回来了,他认为A和B都没回来过,所以,C也把鱼分成三份,又多了一条也扔了。问:A、B、C一共钓了多少条鱼?
【六6班,杨佳】
有一次,我去朋友家,她正在写数学题,有一道题是这样的:
一个人和一只小狗从甲地走到乙地,从比狗走得慢。人每分钟走90米,狗每分钟走180米。狗从人的地方跑到乙地,再返回,碰到人后再跑回乙地,待人走到乙地,狗跑了多少米?(甲乙两地3600米)
此外,六(6)荣康威、六(3)邱梦嘉、六(6)孙博、吴程龙、周进等4名同学都回忆了“鸡兔同笼”问题。
五、简单总结
通过上面六年级学生的回忆,我们不难从中窥探到一些规律性的东西。
孩子的童年需要什么样的数学呢?
儿童需要的数学应该是活动的、触摸的。
儿童的需要数学应该是生活的、日常的。
儿童需要的数学应该是挑战的、探究的。
儿童需要的数学应该是有趣的、好玩的。
近20年的教学研究,从“生活数学”到“开放教学”,从“综合与实践的设计与教学”到“探究性思维游戏的设计与教学”,从“问题研究”到“问题导学”,从引导学生“探究学习”到让学生做“儿童数学家”,一步一个脚印,对此进行了较为深入而持久地探索,坚定地守住自己的一方“领土”,终于取得了一些明显的成效。
所以,我们需要——
尝试地教,阅读地学(尝试化);
游戏地教,玩耍地学(游戏化);
发现地教,探究地学(建模化);
反思地教,写作地学(反省化);
读学、玩学、探学、写学——我数学教学的不懈追求!
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