面对复杂情境，培养探究能力

【题记】

◎伽利略说：“给我空间、时间，以及对数，我就可以创造一个宇宙”、“自然界的书是用数学的语言写成的”。

◎　牛顿说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”

◎　哈尔莫斯说：“数学的创作绝不是单靠推论可以得到的，首先通常是一些模糊的猜测，揣摩着可能的推广，接着下了不十分有把握的结论。然后整理想法，直到看出事实的端倪，往往还要费好大的劲儿，才能将一切付诸逻辑式的证明。这过程并不是一蹴可几的，要经过许多失败、挫折，一再地猜测、揣摹，在试探中白花掉几个月的时间是常有的。”

“探究学习教学法”是美国芝加哥大学教授施瓦布所提倡的一种教学法。他同布鲁纳一样要求把学生者当作“小科学家”看待，这样，教学便成了一种在教师指导“学术性”创造活动。

如果说布鲁纳是从教育内容的侧面提出了他的“发现学习”的理论，那么施瓦布则是从教学方法的侧面，提出了他的“探究学习”理论的。作为该教学法的理论代表加涅则充分强调：知识的获得固然重要，但掌握知识如何获得的过程更为重要。

实验中，我们注意将我国长期以来行之有效的启发式教学等方法结合起来，着重抓以下三点：

一、根据学习课题，精心设计有结构的材料

亚里斯多德说过：“思维是从惊讶和问题开始的。”因此，精心设计有结构的材料，创设问题背景，激发学生学习兴趣，是实施探究学习教学法的关键。设计时，可以从下列方面“切入”：

1、从学生实践或实验中“切入”，使抽象数学命题变得通俗易懂

以学习“质数与合数”为例，教师可以先用乘法表作为在结构的材料（见下图），让学生学习之前先研究这张表的数，找出它们之间的关系。

2、从学生认知矛盾上“切入”，引导学生的学习兴趣与愿望

如在学习长（正）方休的体积公式之后，为了学习“如何测量不规则形体的体积”老师讲了故事：阿基米德在澡池中想到了判别王冠是否纯金的方法，造成悬念，收到很好的教学效果。

3、从复习旧课“切入”，以旧引新，迁移突破

如在教分数工程问题时，教师先出示已知总工作量的一般应用题：一条水渠长3000米，由甲工程队修筑，需20天；由乙工程队修筑，需30天，两队合修需要多少天？然后师生开展比赛，接着把把3000米、改成4000米、6000米，但仍是老师算得较快：12天。这里不仅对老师算得快表示惊讶，而且对问题变化而答案不变感到困惑。值此学习的“愤”、“悱”之际，引导学生发现其中奥秘，定能等于知识迁移，突破教学难点。

二、充分研讨，鼓励猜想，让学生思维登高

数学家与教育家波利亚说过：“数学事实首先是被猜想，然后是被证实。”因此，运用探索学习教学法，不能局限于让学生感知课题，还应该鼓励学生理出一些符合逻辑的猜想，培养学生的创造性思维能力。

从小学数学的教材特点及小学生年龄特点出发，一般可先用下列猜想途径：

1、从特殊到一般，猜想课题的结果

如上例中，学生通过乘法表探究学习了“质数与合数”的概念后，又有人发现乘法表上偶数比较多。孩子们把乘法表的100数字数一数，偶数75个，奇数25个，这是为什么呢？他们再排乘法表，发现奇数排里在偶数，偶数排里也有奇数。即偶×偶＝偶（5排，50个），偶×奇＝偶（

排，25个），奇×奇＝奇（

排，25个），这正是偶数个数是奇数个数的3倍的原因。

2、从假设现，寻找解决问题的方法

例如，“怎么样不规则形体的体积？”老师通过阿基米德的故事的诱导，又启发他们分析、猜想：如果能把不规则形体变化规则形体，问题不就解决了吗？最后，他们终于理解和掌握了求积的方法，把不规则形体浸没在装水的长方形容器，水面上升部分的体积或拿出物体水面下降部分的体积，就是不规则的物体的体积。

3、从已有结论到新的结论，扩大研究领域

例如，一个正方形的边长是5厘米，它的里面的最大加的面积是它的

。进一步的计算表明，无论边长是多大，其比值始终是

，再引导学生联想、猜想、就会发现：长（正）方形的最大圆柱体体积也是长（正）方体里的

。

三、归纳、类比，增强学生的探究能力

最普遍的猜想方法，莫过于类比猜想。在学生探究过程中，通过性质类比、图形类比、公式类比、方法类比等，根据一类对象的某一属性，然后加以判断（肯定、否定或加以修正），将有助于开拓思路，增强其探究能力。

例如，把求扇形面积的公式S＝

变形为S＝πr²×

，与之相类比，让学生探究：求扇形的弧长l是否是2πr×呢？再通过多次的验证，证明上述猜想是正确的。

数学归纳也是一种类比，是与特殊情况作类比的。如学习了“质数”后，有人提出：怎样判断一个大于100的数质数呢？（如221，197），他们依次从小到大用2、3、5、7……等质数去施除。对于221，发现221÷13＝17，从而断定它不是质数。对于197，试除结果如下：

197÷2＝98……1；197÷3＝65……2；197÷5＝39……2；197÷7＝28……1；197÷11＝17……10；197÷13＝15……2；197÷17＝11……10，……

试除中发现，197÷17所得的不完全商11比除数17小就可以不再继续试除了而断定197是质数。理由如下：2、3、5、7、11、13、17都不是197的质因数，那么不会有比17大的质因数，或者说179不可能被小于10的数整除。在此基础上，他们总结出“试除法”判断一个自然数是不是质数的方法。

总的来说，几年的实验使我体会到，“探究学习教学法”的优点是显然的。教师要经常与学生总结探究教学知识及其规律的方法，培养其探究能力。同时，培养其探究未知世界的积极态度是很重要的（包括进取心、自信心、意志力）。当然，这种方法也有局限性，一般只租用能充分展开的章节与命题，却不能代替数学基本功的训练。

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