【题记】
高斯说:“宁可少些,但要好些”、“二分之一个证明等于0”。
希尔伯特说:“当我听别人讲解某些数学问题时,常觉得很难理解,甚至不可能理解。这时便想,是否可以将问题化简些呢﹖往往,在终于弄清楚之后,实际上,它只是一个更简单的问题。”
我们从另一角度来研究圆柱的体积和表面积的关系。请同学们一起来制作四个不同凡响的圆柱体(如下图),进而经历了“探究学习”的全过程。
(1)制作。这四个圆柱体,但它们的高和直径有点“特别”(见下表中的数据,直径和高存在倍数关系)。请同学们别小看了制作圆柱体这一步,在做的过程中有一些制作的小技巧,只有亲手做过的人才会有所感受。套用一句古“纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行!”
(2)展示与交流。同学们可把自己做的作品拿出来展示,再请做的精致的同学向大家介绍制作的经验和小技巧,并请班级“裁判员”进行“星级”评等。
(3)探究。在学习了圆柱体的侧面积和表面积后,探究活动就开始了。要求是:当圆柱的直径与它们的高之间存在倍数关系时,它们的侧面积与直径或高之间存在什么关系呢?表面积与它的直径或高之间存在怎样的关系呢?你还发现了什么?把你的发现写在下面。你可以与别人同学或家长)合作进行探究,也可以自己独立探究。最后把你的“研究或发现”写成一篇小论文或日记。
以下是我带领同学们一起开展的探究,可供参考。
通过可以发现:侧面积一定,高与底面周长(或直径)成反比例;当高(或底面直径)一定时,则底面直径(或高)与侧面积成正比例。有些学生还有其他一些发现,如随着长度的加大,使用的材料会越来越多,反之越少,等等。
我们还可以作进一步地探究。一般情况下,把容器做成圆柱体比做成长方体、正方体更加节省材料。这是为什么呢?究竟是不是这样呢?
我们可以在上述探究的基础上深入下去。可以自己设计出并计算多种类型的圆柱体的表面积和体积,有的直径和高相等,有的直径是高的2倍,有的高是直径的2倍,有的直径和高相差无几……,最后通过比较每个圆柱体“单位表面积所占的容积=圆柱的容积÷相对应的圆柱的表面积”(见下表中“比值”一栏)。
进一步的发现是:随着圆柱体的直径和高的增大,“单位面积的容积”也越来越大,这说明大容器相对来说比小容器节省材料(直径和高都是27的,比直径和高都是5的大大节省材料,这也许就是大人和小孩的鞋子、帽子、衣服的价格相差不大的一个证据,俗称“饶大不饶小”)。在圆柱的直径和高达到一定长度的条件下,当圆柱的直径和高相等时,它的材料利用率是最高的(直径和高都是10的比直径和高一个是9或8、一个是10 的节省材料,1.67>1.61>1.58>1.57>1.43)。
同学们,你觉得如何呢?不如你也通过类似的方式探究一下吧。
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