【题记】
早在课程改革初期的2002，我就带领孩子们开始了“生活数学问题”探究实践，并取得了较多的成果。此文虽长，但被《小学数学教师》2003年暑期版全文刊发，有一定的推广价值。同年12月，《小学数学教师》发表深圳刘德美的对本文的商榷文章《一次探究活动及反思——兼与缪建平老师商榷》，一并附于后，便于有兴趣的老师一并探讨；同时感谢刘德美的教学建议，希望更多的老师加入这支“探究学习”指导的队伍。
研究性学习的本质应该是培养学生的主体性和探索未知的主动性，属于人格品质的范畴，就中小学数学教学的衔接而言，学习方法和思维品质的衔接是至关重要的方面，具有核心的地位。由此可见，在小学阶段进行研究性学习的意义是极其深远。当然与中学阶段的研究性学习相比，小学教学更趋向于直观性、生活化、趣味性。
基于上面的认识，我在六年级进行了“生活中的数学问题”探究实践活动。
实践时间：学生学完所有小学阶段新课之后、总复习之前（我与学生们约定把2002年5月作为生活中的数学问题“探究月”）。
实践对象：两个班六年级学生，计80人。
实践要求：让学生自己搜集生活中的数学问题，在班上发布，然后再自己自由选择一个问题自行进行“自由探究”（当然也可与同伴合作），最后把研究的“成果”以书面的“数学日记”的形式上交。
1、引发兴趣
老师以《素质教育在美国》中的黄况况研究“鲸鱼”、“老鼠有记忆能力吗”的事例来引发学生的兴趣，从而激发学生“跃跃欲试”的探究愿望，让学生知道：别人能够开展“研究”，我们也能行！
2、提供“拐棍”
因为学生们在小学阶段这样的研究还没有过，我就先提供学生的“实例”，以点带面，使其它同学有所参照和启迪。
我提供的一个例子是“卫生纸卷中的一层纸到底有多厚”：
失意的人常常会有所谓“人情比纸薄”的感叹。但人情难以揣度，纸却是可以度量的。日常生活的纸张中，尤以厕纸（卷筒纸）与我们最有“肌肤之亲”，关系也最为密切了。下面，我就来介绍怎样计算一层卫生纸的厚度。
首先，从卫生纸的包装纸可得到以下信息：卫生纸共300格，每格11.4×11cm。
然后，我用尺量出整卷卫生纸的外直径（D）为11.6cm，内筒芯的直径（d）为4.6cm。
接着，开始解答。
解：设两层卫生纸的厚度为x厘米。
根据“300格卫生纸的总面积×厚度（看作一个长方体来算）＝整卷卫生纸的体积－中间纸筒的体积（看作圆柱体来算）”，可列方程：
（11.4×11）×300×x＝π［（11.6÷2）2（平方）－（4.6÷2）2（平方）］×11
37620x＝28.35×3.14×11
37620x＝979.209
x≈0.026
0026÷2=0.013(厘米)
0.013厘米大约是八分之一毫米左右。
同学们能从我的问题探究中得到不少启示吧。比如，如果你想算算字典中每张纸的厚度、一层冰箱保鲜膜的厚度等等，你该知道怎么算了吧。
3、收集问题与探究
通过一段时间的准备，同学们收集的问题还真不少呢，它们有：
·怎样存款才合算
·纱窗要用多少铁丝（尼龙丝）
·水笼头滴水，一天约浪费多少
·磁带的总长度是多少
·一年学习的时间占百分之几
·一盘蚊香能燃多久
·正常人一分钟眨几次眼皮
·一个不规则的茶壶能装水多少升
·一支粉笔有多少立方厘米
·一盒粉笔有多少立方厘米
·一层保鲜膜有多厚
·怎样使用空调更省电
·做一个扶手大约需要多少木材
·胶带纸的体积是多少
·我家地板用了多少立方米木材
·超市的打折都合算吗
·《现代汉语词典》的一页有多厚
·大电水壶烧水合算还是小水壶
……
然后，老师鼓励他们根据的实际情况和兴趣，选择一、两个问题进行研究，同时提醒他们可以与人合作，可以查看资料，可以向老师和家长请教，可以网上求助，计算复杂的可以借助计算器，等等。对于成果的要求，一般用“数学日记”书面写成，也可做成电子幻灯片形式进行发布。
在此过程中，老师注意把好的做法及时让这名学生让大家作初步介绍，以激发和启示其它同学的研究灵感，使研究步步深入。
4、成果展示与汇报
通过4周的研究，大约有95%的学生完成预定的研究任务。其中的大多数人把研究成果写成了“数学日记”的形式，有几名学生制成Powerpoint电子灯片进行发布。最后还评出了“优秀问题奖”、“优秀方法奖”、“优秀成果奖”及“最佳拍档奖”，以资鼓励。
下面是几个研究成果及教师评价：
成成──做一个纱窗需要多少铁丝：我家的纱窗是用细尼龙丝密织而成的。这些密密麻麻的细尼龙丝一共有多长呢，得想个办法来算一算。
通过观察发现：竖着的尼龙丝都是和纱窗的长是一样长，而横着的尼龙丝的长度是和纱窗的宽的是一样长。如果能算出竖着和横着的尼龙丝一共在多少根，那么尼龙丝的总长度不就能算出来了吗？
于是，我开始量每排尼龙丝之间的间隔，它们的间隔都是一样的，大约是2毫米。我再量了除去边框后窗纱部分的长和宽分别是140厘米和85厘米。于是长140厘米的尼龙丝应是：
85÷0.2－1＝424（根）
长85厘米的尼龙丝应是：
140÷0.2－1＝699（根）
这样，尼龙丝的总长度应是：
424×1.4＋699×0.85＝593.6＋594.15＝1187.75（米）
真没想到，竟然这样长！
（点评：该同学通过自己的潜心探究，找到了计算尼龙丝长度的有效方法，值得其它同学学习。另外，在计算尼龙丝根数时，两次都注意少算一根，说明该同学思维很精确，这正是数学学习必须具备的良好品质。但是，你有没有注意：尼龙丝本身也有一个小小的宽度，在探究与计算中却没有考虑，不能不说是一个小遗憾。）
良良──一盒的粉笔有多少立方分米：今天，老师布置一个作业：让我们每天探索一个生活中的“数学问题”。通过选择，我想算算普通的白色粉笔的体积大概是多少呢？（那当然用“立方分米”做单位了）。
粉笔一头大，一头小，但我们可以把它看作近似的圆柱体。通过思考，我想用两种方法来测量和计算它的体积。
一种是通过“平均底面积”来进行计算（“平均底面积”是我创造的一个名词），即量出两头的直径，算出各自的面积再除以2，这样粉笔这个近似圆柱体的“平均底面就”算出来了。我用毫米为单位，量得大头底面直径是10毫米，小头底面直径是8毫米。于是，它的平均底面积是：
3.14×（8÷2）2＋3.14×（10÷2）2＝128.74（平方毫米）
每支粉笔的体积是：
［3.14×（8÷2）2＋3.14×（10÷2）2］÷2×75
＝128.74×75
＝4827.75（立方毫米）
≈4.83（立方厘米）
90支粉笔约是434.5立方厘米，合0.43立方分米。
这个问题，我们还可以通过“平均直径”（这个词也是我创造的）来进行计算。一支粉笔的体积是：
3.14×［（10÷2＋8÷2）÷2］2×75
＝63.585×75
＝4768.875（立方毫米）
≈4.77（立方厘米）
90支粉笔约是429.3立方厘米，合0.43立方分米。
两种算法的误差这么小！我想，两种算法都可以进行。
（点评：该同学通过实践和探索，找到两种不同的方法对粉笔的体积进行计算，并注意进行比较，表现出良好的数学探究学习能力。而且，思路清晰，计算准确，表现出数学探究学习的良好品质。注意的是对粉笔直径的测量是关键，但文中却没有较详细地说明是怎样测量的，能再补充完善吗？）
萌萌── 一盘蚊香到底能燃多久：我家买了一盒“李字”牌蚊香，可是一般蚊香到底能燃多久呢？通过思考，我决定用两种方法来进行研究。
第一种方法是通过周长来进行。我们可以把蚊香近似看作四个同心圆。经过测量，这四个同心圆的直径分别是10.5厘米、8.5厘米、5.3厘米、2.8厘米。于是，一盘蚊香的长度可以这样计算：
（10.5＋8.5＋5.3＋2.8）×3.14＝85.094（厘米）
一盘蚊香竟然这样长！
又通过观察得知，一分钟蚊香要烧去0.15厘米。这样，一盘蚊香烧的时间应是85.054÷0.15≈9.5（小时）。
第二种方法是通过面积来进行。因为两盘蚊香正好合成一个整圆，它的直径是11厘米，于是，一盘蚊香的面积就是：
（11÷2）2×3.14÷2＝47.4925（平方厘米）
量得蚊香宽度是0.55厘米，这样一分钟蚊香烧去的的面积是0.15×0.55＝0.0825（平方厘米），所以，一盘蚊香烧的时间应是：
47.4925÷0.0825÷60≈9.6（小时）。
通过比较，可以发现两种方法的误差很小。我想，两种方法同学们都都可以采用吧。
（点评：你找到极好的生活数学探究内容，而且通过两种方法进行对比研究，思考问题有深度，也很全面，如果能将这些好的学习品质和方法性质加以保持，一定会大有成就的。值得注意的是，蚊香干燥或潮湿，每分钟烧的长度的差异是很大的，有没有找几种不同湿度环境下的蚊香进行对比研究呢？这有待改进与提高。）
教育是什么，“教育是生长”（杜威语），教育是唤醒，教育是呵护，教育是激发。而这一切要建立在给学生“自由探索”的基础上。记得冰心老人说过的一句话：“让孩子像野草一样自由生长。”只有给学生自由探究的空间，自由摸索的时间，自由发挥的舞台，自由展示的天地，他们的潜能才能得到最大地开发，个性才能得到最大地张扬，创新意识才能得到最优化地培养。通过这次的实践，我发现，学生在这种研究学习中，主动性最强，学习效率也最高，学到的知识也最易掌握。
当然，这里所说的“自由”，并不是放任自流，而是指在有组织地、有计划地指导下的“自由”。《数学课程标准》指出：“数学学习活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上。老师应激发学生的积极性，向学生提供充分人事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。”
结合我的“探究性”活动的教学实践和思考，我认为：
首先，老师只是组织者、引导者与合作者，要相信学生自己能学习，能研究，老师不能总是扮演“指手画脚”的角色。
其次，让学生“自由探究”，并不代表教师什么都不管了，而是要随机应变，因材施教，把每个学生、资料和自己都看作是其它学生学习的重要“资源”，让这些资源优化整合，实行“资源共享”，相互促进，取长补短，教学相长。
最后，对学生的探究成果要进行积极的评价。一方面，以鼓励赞为主，侧重培养呵护学生积极探究的热情；另一方面，也要指出其中的不足，以促进学生反思，完善探究成果，使学生的探究活动更加深入。而这一点很重要的的，因为它将引导学生重新认识探究过程，进而培养学生的“元认知”能力。（本文曾发表于《小学数学教师》2003年7－8合刊首篇）
刘德美 《小学数学教师》 2003年第12期
在读了缪建平老师写的《“生活数学问题”探究活动的实践与思考》一文（见《小学数学教师》2003年第7、8期合刊）后，我认为该文的“实践”部分的“成果展示与汇报”中关于计算粉笔体积的两种方法需要商榷。
在该文中，一位叫“良良”的学生把一头大一头小的粉笔看作近似的圆柱体，分别通过先求“平均底面积”和“平均半径”的方法来计算粉笔的体积，从点评中可以看出，教师并没有对这两种方法心存疑义，也没有提示学生去探求其他正确的方法。这两种计算粉笔体积的方法可行吗？请看我的一次相似的教学经历。
一、教学片段剪辑
在学习了圆柱的体积计算后，一个学生看到教室一角有一个塑料水桶（形状是圆台）时，突发奇想，问我：“老师，这个水桶的体积怎样计算呢？也能利用所学的圆柱体积的知识来解决吗？”一石激起千层浪，我让学生说说自己的想法，于是他们就这个问题热烈地讨论起来。
生1：把它看成一个近似的圆柱体来计算。
生2：如果把下底面面积乘高，求出的体积比实际的体积小了；把上底面面积乘高，求出的体积又大了。因此我认为可以把上底面与下底面的面积的平均值乘高。
师：你是如何想到用这种方法来计算的？
生2：计算梯形的面积时用“（上底＋下底）×高÷2”，也就是“（上底＋下底）÷2×高”，我认为也可以根据这个道理，用“（上底面积＋下底面积）÷2×高”来计算水桶的体积。
师：你们认为这样的方法行吗？
生齐答：行！
师：这位同学肯动脑子，他利用了梯形的有关知识来解决问题。（教师画图说明把等腰梯形沿对称轴旋转一周就得到圆台。）
生3：梯形的面积可以用中位线长乘高，所以我认为刚才求水桶体积的方法也可以用桶高一半的地方的圆面积乘高。
师：桶高一半的地方的圆面叫做中截面，怎样求中截面面积？
生4：（上底面积＋下底面积）÷2。
生5：可以用“（上底直径＋下底直径）÷2÷2”求出中截面的半径，再求中截面面积，最后将中截面面积乘高就是水桶的体积。
这时，学生的思维十分活跃，他们沉浸在创造成功的快乐中。我告诉他们：“你们的探索很有意义，你们再继续探索，明天我们还要学习圆锥的体积，可能会给你们解决这一问题带来新的启发。”
学习圆锥的体积时，我十分注意让学生对等底等高的圆锥与圆柱的体积关系做出猜想，学生的猜测与推理同动手实验得出的结论令他们如梦方醒。
生1：圆锥的体积是同它等底等高的圆柱体积的二分之一。
师：为什么？
生1：因为三角形可以看成是上底为0的梯形，这个圆锥也可以看成上底面为0的圆台，前面我们求水桶的体积时用“（上底面面积＋下底面面积）÷2×高”，所以“圆锥的体积＝底面积÷2×高”，因此我认为圆锥的体积是同它等底等高的圆柱体积的二分之一。
生2：我有不同看法，我认为圆锥的体积是同它等底等高的圆柱体积的四分之一。
师：你为什么这么认为呢？
生2：用前面求水桶体积的另一种方法，求出圆锥中截面的面积后乘以高就是圆锥的体积。因为中截面的半径是底面半径的二分之一，中截面面积是底面积的四分之一，所以圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的四分之一。
这时部分学生已意识到原先计算水桶体积的方法肯定有错，于是他们急切想知道结论。
师：同学们，你们自己去做做实验吧，看看等底等高的圆柱与圆锥体积之间有什么关系。
……
当学生学会了圆锥的体积计算方法后，马上就有学生提出：可以运用圆锥体积的计算方法来求水桶的体积。他说：“我们可以在水桶小的底面上加上一个圆锥，使水桶与加上的圆锥合成一个大圆锥（如右图）。只要将大圆锥的体积减去小圆锥的体积就可以了。”学生终于用所学的知识创造性地解决了问题，我为学生由衷地感到高兴。课后，学生的探索热情仍很高，有的还向家长请教，懂得可以用圆台的体积计算公式来计算水桶的体积。
二、错因探析
学生虽弄懂了可以怎样求水桶这种形状的物体的体积，但他们的心头仍萦绕着大大的问号，课后仍不断向我追问：“原先的两种计算方法看起来也是有根有据的，为什么就不对呢？”我启发学生用以下法去探寻错因。
1．你能用圆柱体体积计算公式的推导方法，将圆台形状的物体切拼成学过的立体图形来计算它的体积吗？
2．找一个圆台，测量计算所需的条件，用两种方法计算它的体积并加以比较。
第二天，一些同学迫不及待地要汇报己的发现。
生1：（他一边演示一边讲解）我将形状是圆台的这段萝卜的一个底面16等分，然后把它平均分成16份，不论怎么拼，拼成的体图形既不会近似于长方体，也不会近似于一个圆柱体，因此无法将圆台体积转化为长方体或圆柱体来计算体积，因此不能用“（上底面面积＋下底面面积）÷2×高”来计算圆台的体积。
生2：我找了一个圆台（如右图），测量后，我算出S=12.56，S=50.24，S＝28.26，而（S+S）÷2＝31.4，因此（S+S）÷2≠S。所以在圆台里（上底面面积S＋下底面面积S）÷2≠中截面面积S。
我在学生计算的基础上还进行了以下证明：在圆台里，（S+S）÷2＝πr+πr÷2＝，S＝π××=，因此，当r≠r时，（S＋S）÷2≠S。
三、反思
1．学生是聪明的，是富有创造力的。从缪老师及我的案例中可以看出，当学生面对新的问题情境时，能从已有的知识中迅速检索出相关知识，根据已有的知识推出新的结论。当然，由于知识经验的不足，有时会得出“错误的答案”。但学生的错误都是有价值的。这些“错误的答案”闪烁着学生智慧的火花，折射出学生的创造精神。教师要保护学生的创造热情并给以科学探究方法的引导，以发展学生的创造性。在这点上，我同缪老师一样，对学生的探究精神都给予了充分的肯定。
2．学生学习数学的过程是一个不断探索的过程。由于受知识水平的限制，学生解决“求粉笔或水桶的体积”这类问题的过程是一个探索、发现的过程，是一个不断尝试错误的过程。学正是在不断地发错误、纠正错误的过程中获得发展的。
缪老师的学生良良在文中写到：“两种算法的误差这么小！我想，这两种算法都是可的。”当然，因为粉笔的两端粗细相差较小，因此用这两种方法计算的结果会相差较小；而且那位学生要求的仅是一个大约的数值，所以用这两种方法都可以获得这一结果。但这两种计算粉笔体积的方法可行吗？如果教师不提出疑义，也未加说明，就会给学生造成“圆台的体积可以用这两种方法来计算”的错误认识，对学生的后续学习会造成一些不利的影响，正如我的学生在学习圆锥的体积计算时就运用这两种错误的方法去推出等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系一样。
如果缪老师能就这个问题引导学生进一步探索，学生就会看到平面图形中的一些规律照搬到立体图形中有时会不通，懂得知识并非一成不变的，有其发展性，初步理解三维空间物体与二维平面图形的联系与区别，为进一步学习积累经验。学生在探索过程中，虽不能很快获得结论性的知识，但却尝试了科学探究的方法，习了良好的思维品质，增进了情感体验。就学生的发展而言，谁能说让学生经历这样探究的过程，不比获得现成的结论更富有积极的意义呢？
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