“山有小口,仿佛若有光。便舍船,从口入。初极狭,才通人。复行数十步,豁然开朗。”陶渊明在《桃花源记》中的描述,跟我们玩数学游戏的体验是一样一样的。
【试玩目的】
通过本游戏能够帮助学生进一步理解“一笔画问题”的实质与操作方法,同时知道它是由“七桥难题”,激发学生数学学习的兴趣,培养学生思维的开放性和灵活性。【基本玩法】
“一笔画”是指笔不离开纸,而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。 那么,像汉字“日”和“中”字的图形可以一笔画成吗?“田”和“目”形呢?
【指点迷津】
上面的图形都可以一笔画成。“日”和“中”字形可以一笔画成,但是“田”和“目”字形不能一笔画成。这是为什么呢?原来这与一个图形的“奇点”和“偶点”有关。我们先来了解什么是“交点”。数一数下列图形各有几个交点?(1)从这点出发的线的数目是双数的,叫双数点(偶点)。比如下面的图形就是这样的: (2)从这点出发的线的数目是单数的,叫单数点(奇点)。比如下面的图形就是这样的:
(1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起);(2)凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成。可选任一个点做起点,且一笔画后可以回到出发点。(3)凡是图形中只有两个单数点,一定可以一笔画成。画时必须从一个单数点为起点,以另一单数点为终点。(4)凡是图形中单数点的个数多于两个时,此图肯定是不能一笔画成。我们主要来看每个图形的“奇数点”和“偶数点”的个数。通过观察与数点,我们发现:上面一排的中间一个图形、最后一个图形和下面一排的最后一个图形的“奇数点”个数超过了两个,所以不能一笔画成。其他四个图形是可以一笔画成的。
可以一笔画成的图形有:
不能一笔画成的图形有:
【聪明进阶】
观察下列图形,它们都能一笔画成吗?
【重要提示】
早在18世纪的欧洲古城哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)市,普莱格尔河穿城而过,其中一段的河中有两座小岛,当时在人们在此建了七座古桥与陆地连接。
当时城里的居民闲暇时经常在这里散步,于是就传出了一个有趣的问题:
是否能够一次走遍所有七座桥,而且每座桥只能走过一次?这个看起来很简单又很有趣的问题吸引了大家,很多人尝试了各种各样的走法,只是日子一天天过去,谁也没有做得到。后来瑞士数学家欧拉听说了这个问题,对这个问题进行了研究。他并没有到达哥尼斯堡,只是画了一张图就解决了问题。在图中欧拉舍去了所有的物理条件,陆地和小岛只不过是桥的连接点,其大小、形状与问题无关,所以陆地和小岛可视为点。桥是必须经过的路线,它们的长短、曲直也与问题无关,因此可以用任意7条曲线表示。欧拉经过研究认为:这个图形是不能一笔画出的,所以不能不重复地一次走遍七座桥。
【参考答案】
上面的图中,3、4不能一笔画成,其他都能一笔画成。
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