数学游戏：取火柴游戏（第一级，适合3-6年级）

【题记】

找到谬误要比找到真理容易得多，谬误浮在表面，一下子就可以找到它，真理却藏在深处，不是每个人都能找到。——歌德

如果有人不读书又想冒充博学多知，他就必定很狡黠，才能掩饰他的无知。——培根

【游戏目的】

通过本游戏能够帮助学生巩固所学知识，激发学生数学学习的兴趣，引导学生动手操作和观察实践，让学生学会举一反三，提高学生解决实际问题的能力，培养学生思维的严密性、灵活性和开放性，增强学生数学学习的信心，拓展学生数学学习的视野。

【基本玩法】

我们先来做一个简单的“取火柴问题”。

桌子上放着 15 根火柴，甲乙 2 人轮流每次取走 1-3 根，规定谁取走最后一根谁获胜， 若甲想获胜，那么甲的必胜策略是什么？

如图所示，若想抢到第 15 根，由倒推法可知甲必须拿到第 11 根就能必胜，乙拿 1 根，甲可拿 3 根；乙拿 2 根，甲就拿 2 根；乙拿 3 根，甲可拿 1 根；同理若想抢到第 11 根，甲必须拿到第 7 根即可，同样乙拿几根，甲就拿 4 减几。依次推倒最开始时，从图中发现只要拿到第3根，之后乙拿几根，甲就拿4减几，则一定能抢到每个必胜的火柴。

但大家在仔细观察一下，这些必胜的根数有什么规律吗？15,11,7,3。都是公差为4的等差数列，而这个公差实际上就是规定的最大数3加1即可。则最开始要抢到的3应该是15除以4的余数（4个数一组）。

所以此类问题可总结为抢余数问题。

再来玩一个类似的“取火柴棒游戏”。

桌上有30根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取1～3根，且取最后一根者为赢。问如何确保获胜？

还是要抢占“制高点”：30，26，22，18，14，10，6，2；即被4除余2的数。

分析：采用倒推法，要先报到30，之前应确保报到多少（设这个数为A）必胜？

这个游戏的必胜策略如下：

（1）先取2根；

（2）对方取A（1≤A≤3）根，

你就取4－A根，必胜。

【变化玩法】

再玩一个稍难的“报数游戏”。

游戏一：

甲、乙二人轮流报数，每人每次可以报1～10中的任意一个数，不能不报。每次报数后将所报数累加，谁先报到100谁获胜。问如何取胜？

分析：采用倒推法，要先报到100，之前应确保报到多少（设这个数为A）必胜？为确保报到A，又应该如何报？

“制高点”：100，89，78，67，56，45，34，23，12，1；即被11除余1的数。

必胜策略是：

（1）先报1；

（2）对方报A（1≤A≤10），

你就报11－A，必胜。

游戏二：

可以这样想：规定取1-3根，则公差为3+1=4，总数55除以公差抢余数。55÷4=13…3，所以你第一次先抢3根，之后的那个人取出几根，你就拿4减几根。这样，你总能获胜。

【拓展练习】

1．桌子上放着2011根火柴，甲乙2人轮流每次取走1-5根，规定谁取走最后一根谁获胜，若甲想获胜，那么甲的必胜策略是什么？

2．桌子上放着2000根火柴，甲乙2人轮流每次取走1-4根，规定谁取走最后一根谁获胜，若甲想获胜，那么甲的必胜策略是什么？

3．桌子上放着1988根火柴，甲乙2人轮流每次取走1-7根，规定谁取到最后一根谁就输，若甲想获胜，那么甲的必胜策略是什么？

4．两个人轮流报数，但报出的数只能是1至8的自然数，同时把所报数一一累加起来，谁先使这个累加的和达到80，谁就获胜，问怎样才能确保获胜？

【参考答案】

1．公差为1+5=6，则2011÷6=335…1，所以甲必须先抢1根，之后乙拿几，甲就拿6减几。

2．公差为1+4=5，则2000÷5=400，没有余数，所以甲必须先抢0根，也就是说甲这回要后拿，让乙先拿，之后乙拿几，甲就拿5减几。

3．这回是“谁取到最后一根谁就输”，那么要想获胜的话必须把最后一个留给对方，也就是说必须抢到第1987根即可。公差为1+7=8，则1987÷8=248…3，所以甲必须先抢3根，之后乙拿几，甲就拿8减几。

4．本题与取火柴是同类问题。例如你报3，我报4，咱俩的和为7，实际上就相当于你拿3根，我再拿4根，共取走7根。最后要想拿80，则80÷9=8…8。所以应先抢报8。