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数学游戏:取火柴游戏(第一级,适合3-6年级)
缪不可言行知录
>《待分类》
2020.07.19
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【题记】
找到谬误要比找到真理容易得多,谬误浮在表面,一下子就可以找到它,真理却藏在深处,不是每个人都能找到。
——歌德
如果有人不读书又想冒充博学多知,他就必定很狡黠,才能掩饰他的无知。
——培根
【游戏目的】
通过本游戏能够帮助学生巩固所学知识,激发学生数学学习的兴趣,引导学生动手操作和观察实践,让学生学会举一反三,提高学生解决实际问题的能力,培养学生思维的严密性、灵活性和开放性,增强学生数学学习的信心,拓展学生数学学习的视野。
【基本玩法】
我们先来做一个简单的
“取火柴问题”。
桌子上放着
15
根火柴,甲乙
2
人轮流每次取走
1-3
根,规定谁取走最后一根谁获胜, 若甲想获胜,那么甲的必胜策略是什么?
如图所示,若想抢到第
15
根,由倒推法可知甲必须拿到第
11
根就能必胜,乙拿
1
根,甲可拿
3
根;乙拿
2
根,甲就拿
2
根;乙拿
3
根,甲可拿
1
根;同理若想抢到第
11
根,甲必须拿到第
7
根即可,同样乙拿几根,甲就拿
4
减几。依次推倒最开始时,从图中发现只要拿到第
3
根,之后乙拿几根,甲就拿
4
减几,则一定能抢到每个必胜的火柴。
但大家在仔细观察一下,这些必胜的根数有什么规律吗?
15,11,7,3
。都是公差为
4
的等差数列,而这个公差实际上就是规定的最大数
3
加
1
即可。则最开始要抢到的
3
应该是
15
除以
4
的余数(
4
个数一组)。
所以此类问题可总结为
抢余数问题
。
再来玩一个类似的
“取火柴棒游戏”。
桌上有
30
根火柴,两人轮流从中拿取,规定每人每次可取
1
~
3
根,且取最后一根者为赢。问如何确保获胜?
还是要抢占
“制高点”:
30
,
26
,
22
,
18
,
14
,
10
,
6
,
2
;即被
4
除余
2
的数。
分析:采用倒推法,要先报到
30
,之前应确保报到多少(设这个数为
A
)必胜?
这个游戏的必胜策略如下:
(
1
)先取
2
根;
(
2
)对方取
A
(
1
≤
A
≤
3
)根,
你就取
4
-
A
根,必胜。
【变化玩法】
再玩一个稍难的
“报数游戏”。
游戏一:
甲、乙二人轮流报数,每人每次可以报
1
~
10
中的任意一个数,不能不报。每次报数后将所报数累加,谁先报到
100
谁获胜。问如何取胜?
分析:采用倒推法,要先报到
100
,之前应确保报到多少(设这个数为
A
)必胜?为确保报到
A
,又应该如何报?
“制高点”:
100
,
89
,
78
,
67
,
56
,
45
,
34
,
23
,
12
,
1
;即被
11
除余
1
的数。
必胜策略是:
(
1
)先报
1
;
(
2
)对方报
A
(
1
≤
A
≤
10
),
你就报
11
-
A
,必胜。
游戏二:
可以这样想:规定取
1-3
根,则公差为
3+1=4
,总数
55
除以公差抢余数。
55
÷
4=13
…
3
,所以你
第一次先抢
3
根,之后的那个人取出几根,你就拿
4
减几根。这样,你总能获胜。
【拓展练习】
1
.桌子上放着
2011
根火柴,甲乙
2
人轮流每次取走
1-5
根,规定谁取走最后一根谁获胜,若甲想获胜,那么甲的必胜策略是什么?
2
.桌子上放着
2000
根火柴,甲乙
2
人轮流每次取走
1-4
根,规定谁取走最后一根谁获胜,若甲想获胜,那么甲的必胜策略是什么?
3
.桌子上放着
1988
根火柴,甲乙
2
人轮流每次取走
1-7
根,规定谁取到最后一根谁就输,若甲想获胜,那么甲的必胜策略是什么?
4
.两个人轮流报数,但报出的数只能是
1
至
8
的自然数,同时把所报数一一累加起来,谁先使这个累加的和达到
80
,谁就获胜,问怎样才能确保获胜?
【参考答案】
1
.公差为
1+5=6
,则
2011
÷
6=335
…
1
,所以甲必须先抢
1
根,之后乙拿几,甲就拿
6
减几。
2
.公差为
1+4=5
,则
2000
÷
5=400
,没有余数,所以甲必须先抢
0
根,也就是说甲这回要后拿,让乙先拿,之后乙拿几,甲就拿
5
减几。
3
.这回是“谁取到最后一根谁就输”,那么要想获胜的话必须把最后一个留给对方,也就是说必须抢到第
1987
根即可。公差为
1+7=8
,则
1987
÷
8=248
…
3
,所以甲必须先抢
3
根,之后乙拿几,甲就拿
8
减几。
4
.本题与取火柴是同类问题。例如你报
3
,我报
4
,咱俩的和为
7
,实际上就相当于你拿
3
根,我再拿
4
根,共取走
7
根。最后要想拿
80,
则
80
÷
9=8
…
8
。所以应先抢报
8
。
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