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┊1 重复排列公式【n^r】┊
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有10个数从0～9选取3个数
选第1个时有10种可能
选第2个时有10种可能
依此类推每次乘以10
共有10^3种可重复排列
得出重复排列个数：
＝类型个数^选择个数
＝n^r
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┊2 不重复排列公式【n!/(n−r)!】┊
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有10个数从0～9选取3个数
选第1个时有10种可能
选第2个时有9种可能
选第3个时有8种可能
共有10×9×8种不重复排列
由于10×9×8=10!/(10−3)!
不重复排列个数记作P(n,r)：
＝类型个数!/(类型个数−选择个数)!
＝n!/(n−r)!
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┊3 不重复组合公式【n!/(r!×(n−r)!)】┊
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有次序如：123、132、213、231、312、321
无次序如：123
有4个数从1～4
选取4个排列：有4×3×2×1=24种不重复排列
选择3个组合：123 124 134 234
3个组合数量：(4×3×2)/(3×2×1)=4个
选择2个组合：12 13 14 23 24 34
2个组合数量：(4×3)/(2×1)=6个
次序不重要就需要把原来的不重复排列数减小
得出：(n!/(n−r)!)÷(r!)
简化：n!/(r!×(n−r)!)
例如16个桌球选取3个桌球
其不重复组合数：16!/(3!×(16−3)!)=560
不重复组合个数记作C(n,r)：
＝类型个数!/(选择个数!×(类型个数−选择个数)!)
＝n!/(r!×(n−r)!)
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┊4 重复组合公式【(r+n−1)!/(r!×(n−1)!)】┊
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有5个数从1～5选取3个数
不重复组合是每取1次其类型个数递减1次
如第1位数取1：则第2位数的范围为2,3,4,5
可重复组合则每取1次其类型个数再递增1次
如第1位数取1：则第2位数的范围为2,3,4,5,1
① 不重复组合的取值个数展开：
第1位数的取值个数：5=5
第2位数的取值个数：5−1=4
第3位数的取值个数：5−1−1=3
② 可重复组合的取值个数展开：
第1位数的取值个数：5−1+(选择1次)=5
第2位数的取值个数：5−1−1+(选择2次)=5
第3位数的取值个数：5−1−1−1+(选择3次)=5
推出：不重复组合的n取r
转成：可重复组合的(n−1＋r)取r
代入：(n−1＋r)作为“n”，代入n!/(r!×(n−r)!)
得出：(n−1＋r)!/(r!×(n−1＋r−r)!)
简化：(r+n−1)!/(r!×(n−1)!)
从1～5选取3个数的可重复组合数：
(r+n−1)!/(r!×(n−1)!)=(3+5−1)!/(3!×(5−1)!)=35
可重复组合数：
＝(选择数+类型数−1)!/(选择数!×(类型数−1)!)
＝(r+n−1)!/(r!×(n−1)!)
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┊5 等比数列求和推导┊
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首项＝a1；末项＝a1×q^(n−1)
公比＝q； 项数＝n；和值＝Sn
① Sn数列：
a1+a1×q+a1×q^2+a1×q^3+……+a1×q^(n−1)
② Sn×q数列：
a1×q+a1×q^2+……+a1×q^(n−1)+a1×q^n
③ 右移相减：
Sn−Sn×q＝(Sn数列首项)−(Sn×q数列末项)
④ 等式简化：
Sn×(1−q)＝a1−a1×q^n
Sn＝(a1−a1×q^n)/(1−q)
Sn＝a1×(1−q^n)/(1−q)
Sn＝a1×(q^n−1)/(q−1)
① 数学表达式：
Sn＝a1×(q^n−1)/(q−1)
② 文字表达式：
和值＝首项×(公比^项数−1)/(公比−1)
③ 缆级表达式：
第一缆本×(等比系数^止损高度−1)/(等比系数−1)
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┊6 等差数列求和推导┊
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首项＝a1；末项＝an
公差＝d； 项数＝n；和值＝Sn
① Sn顺序=a1+a2+a3+...…+a(n-1)+an
② Sn倒序=an+a(n-1)+...…+a3+a2+a1
③ 2Sn=(a1+an)+(a2+a(n-1))+...…+(an+a1)
④ a1+an=a2+a(n-1)=a3+a(n-2)...…
⑤ 2Sn=n(a1+an)
⑥ Sn=n(a1+an)/2
① 数学表达式：
Sn＝n(a1+an)/2
An＝a1+d(n−1)
② 文字表达式：
和值＝项数×(首项+末项)/2
末项＝首项+公差×(项数−1)
③ 缆级表达式：
止损资金：止损高度×(第一缆本+末项缆本)/2
最大注码：第一注码+等差系数×(止损高度−1)
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┊7 多连概率┊
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① n连个数：呈现1/2递减
1跳个数×(1/2)：2连个数
2连个数×(1/2)：3连个数
3连个数×(1/2)：4连个数
4连个数×(1/2)：5连个数
以此类推
② n连个数：≧(n+1)连个数的累加
1跳个数：2连个数+3连个数+4连个数+……
2连个数：3连个数+4连个数+5连个数+……
3连个数：4连个数+5连个数+6连个数+……
以此类推
③ n连概率：≧(n+1)连概率的累加
1跳个数/样本：2连个数/样本+3连个数/样本+…
1跳概率 ：2连概率+3连概率+4连概率+……
2连个数/样本：3连个数/样本+4连个数/样本+…
2连概率 ：3连概率+4连概率+5连概率+……
以此类推
④ 连跳的构成与概率
1跳庄的构成：PBP
1跳庄的概率：0.5^2×0.5^1=1/8
2连庄的构成：PBBP
2连庄的概率：0.5^2×0.5^2=1/16
3连闲的构成：BPPPB
3连闲的概率：0.5^2×0.5^3=1/32
3连闲的概率：3连闲数量/样本数
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┊8 二项分布概率公式┊
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设n：投注次数
设k：出现次数
设p：发生概率
设q：不发生概率
投注n次出现k次的概率：
＝C(n, k)×(p^k)×q^(n−k)
＝n!÷(k!×(n−k)!)×p^k×q^(n−k)
① 举例：投注10次出现4次庄的概率
10!/(4!×6!)×0.5068^4×0.4932^6=19.94％
10次下注过程中庄的出现概率：
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庄次 庄概率 庄概率累计
0 0.000852 0.000852
1 0.008750 0.009602
2 0.040464 0.050066
3 0.110879 0.160946
4 0.199390 0.360336
5 0.245866 0.606202
6 0.210538 0.816741
7 0.123625 0.940366
8 0.047637 0.988004
9 0.010878 0.998882
10 0.001117 1.000000
────────────────────
投注10次出现4庄的概率是0.199390
投注10次最多4庄的概率是0.360336
② 举例：抛掷9次硬币结果有5个正面的概率
五个正面的数量：9!/(5!×4!)=126
每个结果的概率：1/(2^9)=1/512
每个结果的概率×五个正面的数量=126×(1/512)
其中1/(2^9)=0.5^5×0.5^4
按照公式：n!÷(k!×(n−k)!)×p^k×q^(n−k)
其中n!÷(k!×(n−k)!)：求指定组合的数量
其中p^k×q^(n−k)：求每个组合的概率
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┊9 基本概率公式┊
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① 加法公式：对于互斥的事件A,B
发生其中一个的概率：P(A)+P(B)
② 乘法公式：对于独立的事件A,B
两个同时发生的概率：P(A)×P(B)
③ 减法公式：
对于发生B是在发生A基础上的事件A,B
发生A而不发生B的概率：P(A)−P(B)
对于独立事件A,B
发生A而不发生B的概率：P(A)−P(A)×P(B)
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┊10 条件概率公式┊
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P(A|B)＝P(A)×P(B|A)/P(B)
P(A|B)×P(B)＝P(A)×P(B|A)
① 公式描述：
P(A)：A的先验概率，不考虑任何B方面的因素。
P(B)：B的先验概率，不考虑任何A方面的因素。
P(A|B)：A的后验概率，在B发生的情况下A发生的条件概率。
P(B|A)：B的后验概率，在A发生的情况下B发生的条件概率。
② 另类表述：
后验概率＝(先验概率*相似度)/标淮化常量
③ 计算举例：
火灾发生概率1%
烟的发生概率10%
已知90%的火灾会产生烟
求解有烟的情况下火灾的发生概率
转成数学表述：
P(火)：1% (先验概率)
P(烟)：10% (标淮化常量)
P(烟|火)：90% (相似度)
P(火|烟)：？
通过公式求解：
P(火|烟)＝P(火) × P(烟|火) /P(烟)
P(火|烟)＝1%×90% /10%
P(火|烟)＝0.01×0.9/0.1
P(火|烟)＝9%
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┊11 全概率公式┊
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全概率公式：
P(D)=P(A)×P(D|A)+P(B)×P(D|B)+P(C)×P(D|C)
公式描述：
已知第一阶段A,B,C的各自概率，且A,B,C中均有D发生的概率，求第二阶段D的概率。
举例说明：
甲乙丙三个车间生产同一种产品
甲车间产量占总产量的25%其次品率5%
乙车间产量占总产量的35%其次品率4%
丙车间产量占总产量的45%其次品率2%
求抽取任一件产品抽到次品的概率
设P(A)：抽到甲车间的概率
设P(B)：抽到乙车间的概率
设P(C)：抽到丙车间的概率
设P(D)：抽到次品的概率
公式求解：
P(D)=P(A)×P(D|A)+P(B)×P(D|B)+P(C)×P(D|C)
P(D)=0.25×0.05+0.35×0.04+0.45×0.02=0.0355
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