随机矩阵描述了在一个有限状态空间S上的马尔可夫链。
如果在一个时间步长内从i到 j移动的概率为,随机矩阵P的第 i行,第 j 列元素由 给出,例如,
由于从状态 i 到下一状态的概率总和必须是 1,这个矩阵是一个右随机矩阵,于是
从i 到 j分两步转变的概率由然后由给定的P的平方矩阵的(i,j)号元素给出:
一般地,在由矩阵P给出的有限马尔可夫链上从任何状态转移到另一个状态的 步转移概率为P。初始分布为一个行向量。平稳概率向量 定义为不随转移矩阵的运用而变化的一个向量;也就是说,它定义为概率矩阵的左特征向量,其特征值为1:
佩龙一弗罗宾尼斯定理保证了每个随机矩阵都具有这样的向量,而特征值的最大绝对值始终为1。在一般情况下,可能有多个这样的向量。然而,对于具有严格正项的矩阵,该向量是唯一的,并可以观察到对任意i我们都有以下极限而求出,
其中 是行向量 的第j 个元素。在其他方面,这表示处在状态 j下的长期概率与初始状态 i是独立的。这两种计算得到相同的稳定向量是遍历定理的一种形式,在各种各样的耗散动力系统广泛成立:该系统随着时间演变到定态。
直观地看,随机矩阵表示一个马尔可夫链;对概率分布应用随机矩阵,就是将原始分布的概率质量进行重新分布,同时保持其总质量。如果反复应用此过程,分布就会收敛为马尔可夫链的平稳分布。
设A、B为二个n×n阶转移矩阵,则以下亦为转移矩阵:AB、A、1/2(A+B)。