答疑专区(2021.12.23)

公众号后台收到网友如下问题，在此跟大家一起探讨：

这是2019年襄阳四中、五中自主招生考试数学试题的第4题，是一道典型的以几何图形面积为载体，从运动变化的角度考察函数及其图象性质的问题。

根据题意，当0≤x≤1时，点M在线段OA上运动，所围成阴影部分即为一个以x、1为边长的长方形，其面积即为x，解析式为y=x。故而这一运动阶段，函数的图象为正比例函数y=x的图象。基于此部分分析，可以排除A、C选项，答案应该在B、D中选择。如何选择呢？

当1<x≤2时，所围成阴影部分事实上可以分为左侧正方形加右侧不规则封闭图形，故而问题的关键在于这部分不规则封闭图形的面积如何变化。B和D的区别在于阴影部分面积增长的快慢不同，B选项函数曲线逐渐平缓，意味着阴影部分面积增加的越来越慢；D选项函数曲线越来越陡峭，意味着阴影部分面积增加的越来越快。我们再回过来看图形，随着点M的右移，x每增加相同的长度，其面积增加的越来越少，即阴影部分面积增加的越来越慢，与前述B选项一致。从而，我们得出本题的答案应该选B。

有的同学可能纠结于这个分段函数第二段的解析式问题，这是没有必要的，因为我们已经从定性的角度解决了这个题目。事实上这个问题就是一个积分问题，有兴趣的同学可以在学习积分相关知识后从积分的角度加以考虑，相信会有所启发。

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