【例1】已知如图:在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,点E、F分别在BC和AD边上,AF=CE,EF和对角线BD相交于点O,求证:点O是BD的中点。
分析:构造全等三角形或利用平行四边形的性质来证明BO=DO
略证:连结BF、DE
在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC,AD=BC
又∵AF=CE
∴FD∥BE,FD=BE
∴四边形BEDF是平行四边形
∴BO=DO,即点O是BD的中点。
【例2】已知如图:在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点,求证:四边形EFGH是平行四边形。
分析:欲证四边形EFGH是平行四边形,根据条件需从边上着手分析,由E、F、G、H分别是各边上的中点,可联想到三角形的中位线定理,连结AC后,EF和GH的关系就明确了,此题也便得证。(证明略)
变式1:顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。
变式2:顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形。
变式3:顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形。
变式4:顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形。
变式5:若AC=BD,AC⊥BD,则四边形EFGH是正方形。
变式6:在四边形ABCD中,若AB=CD,E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点,求证:EFGH是菱形。
变式7:如图:在四边形ABCD中,E为边AB上的一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA边上的中点,求证:四边形PQMN是菱形。
探索与创新:
【问题】已知如图,在△ABC中,∠C=900,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC,AM和BN相交于P,求∠BPM的度数。
分析:条件给出的是线段的等量关系,求的却是角的度数,为此,我们由条件中的直角及相等的线段,可联想到构造等腰直角三角形,从而应该平移AN。
略证:过M作ME∥AN,且ME=AN,连结NE、BE,则四边形AMEN是平行四边形,得NE=AM,ME∥AN,AC⊥BC
可得ME⊥BC
在△BEM和△AMC中,
ME=CM,∠EMB=∠MCA=900,BM=AC
∴△BEM≌△AMC
∴BE=AM=NE,∠1=∠2,∠3=∠4,∠1+∠3=900
∴∠2+∠4=900,且BE=NE
∴△BEN是等腰直角三角形
∴∠BNE=450
∵AM∥NE
∴∠BPM=∠BNE =450
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