构造平行四边形解决几何问题

【例1】已知如图：在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，点E、F分别在BC和AD边上，AF＝CE，EF和对角线BD相交于点O，求证：点O是BD的中点。

分析：构造全等三角形或利用平行四边形的性质来证明BO＝DO

略证：连结BF、DE

         在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC

      ∴四边形ABCD是平行四边形

      ∴AD∥BC，AD＝BC

    又∵AF＝CE

      ∴FD∥BE，FD＝BE

      ∴四边形BEDF是平行四边形

      ∴BO＝DO，即点O是BD的中点。

【例2】已知如图：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。

分析：欲证四边形EFGH是平行四边形，根据条件需从边上着手分析，由E、F、G、H分别是各边上的中点，可联想到三角形的中位线定理，连结AC后，EF和GH的关系就明确了，此题也便得证。（证明略）

变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。

变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形。

变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形。

变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形。

变式5：若AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH是正方形。

变式6：在四边形ABCD中，若AB＝CD，E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点，求证：EFGH是菱形。

变式7：如图：在四边形ABCD中，E为边AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形PQMN是菱形。

探索与创新：

【问题】已知如图，在△ABC中，∠C＝90⁰，点M在BC上，且BM＝AC，点N在AC上，且AN＝MC，AM和BN相交于P，求∠BPM的度数。

分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数，为此，我们由条件中的直角及相等的线段，可联想到构造等腰直角三角形，从而应该平移AN。

略证：过M作ME∥AN，且ME＝AN，连结NE、BE，则四边形AMEN是平行四边形，得NE＝AM，ME∥AN，AC⊥BC

可得ME⊥BC

在△BEM和△AMC中，

ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝90⁰，BM＝AC

∴△BEM≌△AMC

∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠3＝90⁰

∴∠2＋∠4＝90⁰，且BE＝NE

∴△BEN是等腰直角三角形

∴∠BNE＝45⁰

∵AM∥NE

∴∠BPM＝∠BNE ＝45⁰