相似三角形性质及运用

变式1：如图，已知菱形AMNP内接于△ABC，M、N、P分别在AB、BC、AC上，如果AB＝21 cm，CA＝15 cm，求菱形AMNP的周长。

答案：35 cm

变式2：如图，在△ABC中，有矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH⊥BC交DE于M，DG∶DE＝1∶2，BC＝12cm，AH＝8 cm，求矩形的各边长。

【例3】如图，已知P为△ABC内一点，过P点分别作直线平行于△ABC的各边，形成小三角形的面积S₁、S₂、S₃，分别为4、9、49，求△ABC的面积。

探索与创新：

【问题一】如上图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b，过BD上一点P作MN∥BC交AB、DC于M、N，若AM∶MB＝m∶n。

（1）计算PM、PN的长；

（2）当a∶b＝m∶n时，PM与PN有怎样的关系？

（3）在什么条件下才能得到2MN＝a+b。

【问题二】如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD、BC的长度分别为a、b（a<b），梯形ABCD的高未给出，在这样的图形中，是否总可以作一条平行于两底的截线EF（点E、F分别在AB、CD上），使EF把梯形ABCD分割成面积相等的两个梯形？如果可以分割，EF的长度如何求？试求出EF的长度。