浅析高斯取整函数

    

高斯取整函数虽然在中学阶段不做要求，但在很多竞赛培优中都有所涉及。下面对高斯取整函数的定义及相关性质做简单的解读，帮助同学们拓展视野，有兴趣的同学可以自行查找资料学习。

定义：我们用[x]表示不超过x的最大整数，则称y=[x]为高斯取整函数。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即x=[x]+a（0≤a<1），故而[x]≤x<[x]+1，我们记{x}=x-[x]为x的小数部分。

根据定义，我们给出如下简要的性质：

1、当x₁≤x₂时，有[x₁]≤[x₂]；

2、[n+x]=n+[x]，其中n为整数；

3、x-1<[x]≤x<[x]+1；

4、对于一切实数x，y有[x]+[y]≤[x]+[y]；

5、若x≥0，y≥0，则[xy]≥[x][y]；

上述性质不难理解，下举两例相关应用：

例1

如果x为任意实数，用[x]表示不大于x的最大整数，例如：[-7] = 7，[-3.1] = -4，则满足等式[x]-3=0的x的范围是____________

分析：此题即[x]=3，根据高斯取整函数的定义，x的取值范围为3≤x＜4

       例2 

分析：根据所给概念（注意跟前面所给小数部分的记号有不同），{x}与[x]之间满足{x}-[x]，故而所求等式事实上就是{x}+{x}-[x]=4等价于{x}=3，而x为整数，故而x=2.