动点路径问题举例

在数学中我们经常会研究运动变化问题，但运动变化问题中我们试图探究的却往往是其中不变的量和关系。动点路径问题最关键的是弄清楚动点是如何运动的，下一步才是与路径相关的计算或证明。学习中我们通常碰到的动点路径问题主要分直线型和圆弧型运动，举例如下：

直线型运动

例1、如图，等边△ABC的边长为4 cm，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边作等边△ADE。如图，在点D从点B开始移动至点C的过程中，求点E 移动的路径长．

分析：在我们学习几何画板时我们会提到主动点和从动点这样的名词，本题中点D是主动点，而点E是因为点D的运动而运动的从动点。点E是如何运动的呢？

上图是用几何画板追踪点的轨迹功能绘制的图像，我们可以看出点E的轨迹应该是一条线段，下面再求这条线段的长度就好求了。

但问题的关键在于没有几何画板的学生，只利用草稿纸和笔怎么得出这样直观的结论？这就考量学生对于图形的敏感度，如前所言，发现变化过程中不变的关系！

学生很容易想到连接CE，也很容易证明出△ABD≌△ACE，然后呢？这就是凸显学生对于位置关系敏感度的时候了！很多同学做到这一步就无从下手了，但善于思考图形关系的同学就会找出原来∠ACE=∠ABC=∠BAC这样一个关系，也即推出CE‖ AD这个关键性结论。无论点D如何运动，CE都平行于AB，也即点E的轨迹在过点C且平行于AB的直线上，至此我们完成了本题最关键的点E轨迹是什么的问题。至于求轨迹的长就很简单了，不再赘述！

参考答案：4cm

圆弧运动

例2、

如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上的一个动点(不与B 、D 重合)，连结AP ，过点B作直线AP 的垂线，垂足为H ，连结DH ，若正方形的边长为4，则线段DH 长度的最小值是_______．

分析：本题由于点P的运动，带动点H的运动，故而DH的长度是变化的，如何找到DH的最小值？或者说点H在什么位置时DH最小？前提是我们得知道点H是如何运动的。

本题有一个关键的条件我们还没用，即BH垂直于AP这个关系是在运动过程中保持不变的，由此我们注意到三角形AHB始终是以AB为斜边的直角三角形，那么点H的运动轨迹就呼之欲出了！根据圆周角定理的推论，点H就在以AB为直径的半圆O的圆弧上。

由于OH长固定，OH+DH≤OD，故而当O、H、D三点共线时DH最小。

由于OD长度很好求，DH的最小值也就出来了。

参考答案：2√5-2