二次函数
是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量
取任意实数时的最值情况(当
时，函数在
处取得最小值
，无最大值；当
时，函数在
处取得最大值
，无最小值．
本节我们将在这个基础上继续学习当自变量
在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．
【例1】当
时，求函数
的最大值和最小值．
分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量
的值．
解：作出函数的图象．当
时，
，当
时，
．
【例2】当
时，求函数
的最大值和最小值．
解：作出函数的图象．当
时，
，当
时，
．
由上述两例可以看到，二次函数在自变量
的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．
根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量
的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：
【例3】当
时，求函数
的取值范围．
解：作出函数
在
内的图象．
可以看出：当
时，
，无最大值．
所以，当
时，函数的取值范围是
．
【例4】当
时，求函数
的最小值(其中
为常数)．
分析：由于
所给的范围随着
的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．
解：函数
的对称轴为
．画出其草图．
(1) 当对称轴在所给范围左侧．即
时： 当
时，
；
(2) 当对称轴在所给范围之间．即
时：
当
时，
；
(3) 当对称轴在所给范围右侧．即
时：
当
时，
．
综上所述：
在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：
【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量
(件)与每件的销售价
(元)满足一次函数
．
(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润
与每件销售价
之间的函数关系式；
(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为
元，
那么
件的销售利润为
，又
．
(2) 由(1)知对称轴为
，位于
的范围内，另抛物线开口向下
当
时，
当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．
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