2013中考数学专题复习15
二次函数有关四边形的问题
一、知识要点：
1、熟悉特殊四边形的性质和判定，把问题进行转化，转化为边、角之间的关系，主意要保证条件充分；
2、合理选择方法，如相似、勾股定理、三线合一等，往往能使过程变得简单；
3、解题过程往往要用到分类讨论，理解题意要准确、分析问题要到位。
二、例题分析：
例1、如图，抛物线
与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）.
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动，过点P作⊥x轴，交直线AB于点M，抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t的值，平行四边形BCMN
是否为菱形？说明理由.
分析：第（1）根据A、B两点坐标，用待定系数法易得。
第（2）s即为线段MN的长度，因P在OC上移动，
所以点N必在M的上方，所以s就是N点的纵坐标减去M点
的纵坐标。
第（3）要四边形BCMN为平行四边形，因BC∥MN，
只要BC∥MN即可；平行四边形BCMN
是否为菱形，只要把
所求t的值代入，看邻边是否相等。
例2、如图，已知抛物线y＝a(x－1)2＋
(a≠0)经过点A(－2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于
轴的直线交射线OM于点C，B在
轴正半轴上，连结BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．
分析：（2）关键是合理转化为相应线段之间的关系；（3）把不规则最值
图形转化为规则图形，利用二次函数求最值。
例3、在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =
+1，
点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，
AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上.
(1) 写出点M的坐标；
(2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.
① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.
分析：
分析：（2）有两边平行的四边形并不一定是平行四边形，要把这两条边重合及另两边也平行的情况排除掉；
（3）因两边大小不定，要进行分类讨论，
巩固练习
1、如图，已知二次函数y＝x 2－2x－1的图象的顶点为A，二次函数y＝ax 2＋bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y＝x 2－2x－1的图象的对称轴上．
（1）求点A与点C的坐标；
（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数y＝ax 2＋bx的关系式．
2、如图，抛物线
与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－1），且对釉轴x=1．
(1)求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；
(2)在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为3．若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由(使用图1)；
(3)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标(使用图2)．
图1 图2
3、如图所示，在平面直角坐标系xoy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线
经过点A、B和D（4，
）。
（1）求抛物线的表达式。
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿BC边以1cm/s
的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设S=PQ2（cm2）。
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取
时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由。
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标。
4、已知顶点为A(1,5)的抛物线
经过点B(5,1).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图(15.1),设C,D分别是x轴、y轴上的两个动点，求四边形ABCD周长的最小值
（3）在（2）中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD.设点P(x,y)(x>0)是直线y=x上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图（15.2）所示构造等腰直角三角形PRQ.
①当△PBR与直线CD有公共点时,求x的取值范围；
②在①的条件下，记△PBR与△COD的公共部分的面积为S.求S关于x的函数关系式，并求S的最大值。
5、已知抛物线
与y轴交于点A，它的顶点为B，点A、B关于原点O的对称点分别是点C、D。若点A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD为抛物线的伴随四边形，直线AB为抛物线的伴随直线。
（1）如图1，求抛物线
的伴随直线的解析式；
（2）如图2，若
（m>0）的伴随直线是y=x－3，伴随四边形的面积为12，求此抛物线的解析式；
（3）如图3，若抛物线
的伴随直线是y=－2x+b（b>0），且伴随四边形ABCD是矩形。
① 用含b的代数式表示m,n的值；
② 在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标（用含b的代数式）；若不存在，请说明理由。
5、已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x=4. 设顶点为
点P，与x轴的另一交点为点B.
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线 y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒
个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N. 将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN. 在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒. 求S关于t的函数关系式.
6、已知二次函数y=a（x2-6x+8）（a>0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点.
（1）如图①，连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O′恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；
（2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4,4）、（4,3），边HG位于边EF的右侧.小林同学经过探索后发现一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）.”若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；
（3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能够成平行四边形）？请说明理由.
参考答案
例1：解（1）把x=0代入
，得
把x=3代入
，得
，
∴A、B两点的坐标分别（0，1）、（3，
）
设直线AB的解析式为
，代入A、B的坐标，得
，解得
所以，
（2）把x=t分别代入到
和
分别得到点M、N的纵坐标为
和
∴MN=
-（
）=
即
∵点P在线段OC上移动，
∴0≤t≤3.
(3)在四边形BCMN中，∵BC∥MN
∴当BC=MN时，四边形BCMN即为平行四边形
由
，得
即当
时，四边形BCMN为平行四边形
当
时，PC=2，PM=
，PN=4，由勾股定理求得CM=BN=
,
此时BC=CM=MN=BN，平行四边形BCMN为菱形；
当
时，PC=1，PM=2，由勾股定理求得CM=
,
此时BC≠CM，平行四边形BCMN不是菱形；
所以，当
时，平行四边形BCMN为菱形．
例2：解：（1）把A(－2，0)代入y＝a(x－1)2＋
，得0＝a(－2－1)2＋
．
∴a＝－
∴该抛物线的解析式为y＝－
(x－1)2＋
即y＝－
x 2＋
x＋
．
（2）设点D的坐标为(xD，yD)，由于D为抛物线的顶点
∴xD＝－
＝1，yD＝－
×1 2＋
×1＋
＝
．
∴点D的坐标为(1，
)．
如图，过点D作DN⊥x轴于N，则DN＝
，AN＝3，∴AD＝
＝6．
∴∠DAO＝60°
∵OM∥AD
①当AD＝OP时，四边形DAOP为平行四边形．
∴OP＝6
∴t＝6（s）
②当DP⊥OM时，四边形DAOP为直角梯形．
过点O作OE⊥AD轴于E．
在Rt△AOE中，∵AO＝2，∠EAO＝60°，∴AE＝1．
（注：也可通过Rt△AOE∽Rt△AND求出AE＝1）
∵四边形DEOP为矩形，∴OP＝DE＝6－1＝5．
∴t＝5（s）
③当PD＝OA时，四边形DAOP为等腰梯形，此时OP＝AD－2AE＝6－2＝4．
∴t＝4（s）
综上所述，当t＝6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形．
（3）∵∠DAO＝60°，OM∥AD，∴∠COB＝60°．
又∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OB＝OC＝AD＝6．
∵BQ＝2t，∴OQ＝6－2t（0＜t＜3）
过点P作PF⊥x轴于F，则PF＝
t．
∴S四边形BCPQ ＝S△COB －S△POQ
＝
×6×
－
×(6－2t)×
t
＝
(t－
)2＋
∴当t＝
（s）时，S四边形BCPQ的最小值为
．
此时OQ＝6－2t＝6－2×
＝3，OP＝
，OF＝
，∴QF＝3－
＝
，PF＝
．
∴PQ＝
＝
＝
例3：解(1) ∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB = OC = 4，
∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，
∴ A，B的横坐标分别是2和– 2，
代入y =
+1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)，
∴M (0，2)，
(2) ① 过点Q作QH ^ x轴，设垂足为H， 则HQ = y ，HP = x–t ，
由△HQP∽△OMC，得：
, 即： t = x – 2y ,
∵ Q(x,y) 在y =
+1上， ∴ t = –
+ x –2.
当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1±
,
当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x = ± 2
∴x的取值范围是x 1 1±
, 且x1± 2的所有实数.
② 分两种情况讨论：
1）当CM > PQ时，则点P在线段OC上，
∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ，
∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2(
+1)，解得x = 0 ，
∴t = –
+ 0 –2 = –2 .
2）当CM < PQ时，则点P在OC的延长线上，
∵CM∥PQ，CM =
PQ，
∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即
+1=2′2，解得： x = ±
.
当x = –
时，得t = –
–
–2 = –8 –
, 当x =
时， 得t =
–8.
习题答案
1、解：（1）∵y＝x 2－2x－1＝(x－1)2－2∴顶点A的坐标为(1，－2)．
∵二次函数y＝ax 2＋bx的图象经过原点，且它的顶点B在二次函数y＝x 2－2x－1图象的对称轴上．
∴点C与点O关于对称轴对称．
∴点C的坐标为(2，0)．
（2）∵四边形AOBC为菱形，∴点B与点A关于直线OC对称．
∴点B的坐标为(1，2)．
∵二次函数y＝ax 2＋bx的图象经过点B(1，2)，C(2，0)．
∴
解得
∴二次函数y＝ax 2＋bx的关系式为y＝－2x 2＋4x
2、（1）由
得
，又
，所以抛物线的解析式为
由
得x=－1或x=3，所以A（－1，0），B（3，0）
（2）假设存在符合条件的点D，设D（x，
）
作DE⊥x轴于点E，则OE=x，DE=
，BE=3－x，得
化简得，
解得x=1或x=2
故存在符合条件的点D，为D（1，
）或D（2，－1）
（3）当PQ平行等于AB时，PQ=4，当P在y轴右侧时，P的横坐标为4，当P在y轴左侧时，P的横坐标为－4；当PQ与AB互相平分时，PQ过AB的中点（1，0），可得P的横坐标为2故P的坐标为（4，
）或（－4，7）或（2，－1）
3、（1）由题意得A（0，－2），B（2，－2），抛物线
过A、B、D三点得
解得
抛物线的表达式为
（2）①S=PQ2=
（0≤t≤1）
②由
解得t=
或t=
（不合题意，舍去）
此时，P（1，－2），B（2，－2），Q（2，
）
若以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，则R（3，
）或（1，－
）或（1，
）
经代入抛物线表达式检验，只有点R（3，
）在抛物线上
所以抛物线上存在点R（3，
）使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形。
（3）过B、D的直线交抛物线对称轴于点M，则该点即为所求。因为如在对称轴上另取一点N，则
ND－NA=ND－NB<BD，而MD－MA=MD－MB=BD，故点M到D、A的距离之差最大。
由B（2，－2）、D（4，
）求得直线BD的解析式为
时，
，故点M的坐标为（1，
）
4、解：⑴.设以A(1,5)为顶点的二次函数解析式为
∵
的图像经过了点B(5,5) ∴
解得
∴
即：
⑵.
如图，作点A关于y轴对称点
,与y轴交与点D,作点B关于x轴对称点
,与x轴交与点
C,连接AD,AC,CB,BA.四边形ABCD的周长最小。
∵A(1,5),B(5,1)∴
∴
⑶.①如图
∵
∴直线AB的解析式为
∴直线
与直线
的交点
∵
，点Q为OP的中点∴
∵△PBR与直线CD有公共点，
∴
，即
5、解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b.由题意，得:A(0，5)，B(2，1)
∴
∴k=-2 ,b=5
∴直线AB的解析式为y=-2x+5
(2) 由伴随直线是y=x－3，得：A(0，-3)，C(0，3) ∴ AC=6
由伴随四边形的面积为12，得：△ABC的面积为6=
∴m=±2 ∵m>0 ∴m=2
当m=2时，y=-1，顶点为（2，-1）， 且过点C（0，3）
∴抛物线的解析式为y=
。
(3) ① 如图，作BE⊥x轴，
由题意，得：A（0,b）,C (0,-b)
∵抛物线的顶点B（m,n）在y=－2x+b（b>0）上，
∴n=-2m+b B(m, -2m+b)
在矩形ABCD中，OC=OB ∴OC2=OB2
即：
∴m(5m-4b)=0∴m1=0(舍去)，m2=
∴n=-2m+b=
∴
,
；
② 存在，有4个点：(
，
),(
，
),(
，
),(
，
)
5、（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c
由题意得
解得
∴二次函数的解析式为y= x2－8x+12，点P的坐标为（4，－4）
（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形. 理由如下：
当y=0时，x2-8x+12=0 ∴x1=2 ， x2=6，∴点B的坐标为（6，0）
设直线BP的解析式为y=kx+m
则
解得
∴直线BP的解析式为y=2x－1，∴直线OD∥BP
∵顶点坐标P（4， －4） ∴ OP=4
设D(x，2x) 则BD2=（2x）2+(6－x)2
当BD=OP时，（2x）2+(6－x)2=32，解得：x1=
，x 2=2
当x2=2时，OD=BP=
，四边形OPBD为平行四边形，舍去
∴当x=
时四边形OPBD为等腰梯形
∴当D(
，
)时，四边形OPBD为等腰梯形
（3）① 当0＜t≤2时，
∵运动速度为每秒
个单位长度，运动时间为t秒，
则MP=
t ∴PH=t，MH=t，HN=
t ∴MN=
t
∴S=
t·t·
=
t2
② 当2＜t＜4时，P1G=2t－4，P1H=t
∵MN∥OB ∴
∽
∴
∴
∴
=3t2－12t+12
∴S=
t2－(3t2－12t+12)= －
t2+12t－12
∴ 当0＜t≤2时，S=
t2，当2＜t＜4时，S=－
t2+12t－12 。
6、解：（1）令y=0，由a（x2-6x+8）=0解得x1=2，x2=4；
令x=0，解得y=8a.
∴点A、B、C的坐标分别是（2,0）、（4,0）、（0,8a），
该抛物线对称轴为直线x=3.
∴OA=2，
如图①，设抛物线对称轴与x轴的交点为M，则AM=1.
由题意得O′A=OA=2.
∴O′A=2AM，∴∠O′AM=60°.
∴∠OAC=∠ O′AC=60°.
∴OC=
·AO=2
，即8a=2
，∴a=
.
（2）若点P是边EF或边FG上的任意一点，结果同样成立.
（I）如图②，设P是边EF上的任意一点（不与点E重合），连接PM.
∵点E（4,4）、F（4,3）与点B（4,0）在一直线上，点C在y轴上，
∴PB＜4，PC≥4，∴PC＞PB.
又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，
∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形.
（II）设P是边FG上的任意一点（不与点G重合），
点F的坐标是（4,3）点G的坐标是（5,3）.
∴FB=3，GB=
，∴3≤PB＜
，
∵PC≥4，∴PC＞PB.
又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，
∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形.
（3）存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能够成平行四边形）.
如图③，∵点A、B是抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，
∴PA=PB.
∴当PC=PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成平行四边形.
∵点C的坐标是（0,8a），点D的坐标为（3，-a），点P的坐标是（3，t），
∴PC2=32+（t-8a）2，PD2=（t+a）2，
由PC=PD得PC2=PD2，∴32+（t-8a）2=（t+a）2，
整理得7a2-2ta+1=0，∴△=4t2-28.
∵t是大于3的常数，∴△=4t2-28＞0，
∴方程7a2-2ta+1=0有两个不相等的实数根a=
=
，
显然，a=
＞0，满足题意.
∴当t是一个大于3的常数时，存在一个正数a=
，使得线段PA、PB、PC、PD能构成平行四边形.
