时针分针问题精解

好文。时针、分针对调问题，确实是最近数学竞赛的一大热点，越来越热。这个精解，的确简单、方便，容易理解，容易教会学生的。

时针、分针对调问题，近年来受到很多中学教师、奥数教师的青睐。即，某件事开始时间、结束时间，时针、分针位置对调，计算开始时间、结束时间、持续时间。

昨天，一位学生拿给我一道时针、分针对调的题，是北京市的十大重点中学——首师大附中初三实验班的测试题，全班无一人做出。可见难度还是很高的。

这类题解法很多。前文介绍一种最简便、也是最深刻的方法，三句口诀法“时针十二、分针一。开始分针定结束。结束分针定开始），现在发布时针、分针对调问题的精解。

首师大附中的原题是：

老师召开班会。会议开始时候老师看了一下时间，时针在3、4之间，分针在5、6之间(图1)。到会议结束时老师又看了时间，时针在5、6之间，分针在3、4之间（图2）。

图1、事件开始时间                       图2、事件结束时间

(时针在3、4之间，分针在5、6之间)       (时针在5、6之间，分针在3、4之间)

问：（1）会议开始时间？（2）会议结束时间？（3）会议持续多长时间？（精确到秒）

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解：分析过程：设开始时的时针在 x 处， 15 < x < 20

分针在 y 处。 25 < y < 30，如图3.

图3、设定开始时候的时针、分针在 x、y 处 

一：分针从 y 处开始，运行到 y 处。不足两圈120分钟，为

120 - (y-x) 分钟

时针从 x 处开始，运行到 y处。每格为12分钟，为

12(y-x) 分钟

二者相等，得

120 - (y-x) ＝ 12(y-x)   化简，得

x － y ＝ －120/13                     (1)

二：开始时候，如果从 3:00 整开始，分针走了 y 分钟，

时针从3的位置开始，走了

12(x- 3×5) 分钟

得方程 

y = 12(x- 3×5)     化简，得

12x － y ＝ 180                        (2)

联立（1）和（2）， 得二元一次方程组 

x － y ＝－120/13                        （1）

12x － y ＝ 180                           (2)

解此方程组，得

x ＝ 2460/143 ＝ 17又 29/143 （约为 17.2 ）

y　＝ 3780/143 ＝ 26又 62/143 （约为 26.4 ）

三：开始时间。时针在 17又29/143 的位置，分针在 26又62/143 的位置。

开始时间为 3：26分 62/143秒

结束时间。时针在 26又62/143 的位置，分针在 17又62/143 的位置。

结束时间为 5：17分 29/143秒

会议持续时间 120 － (3780/143 － 2460/143）

＝ 120 － 9分33/143秒 ＝ 110分 110/143秒

该题精确答案：

开始时间 3:26 分 62/143秒，结束时间 5:17分 29/143秒，会议持续 110分 110/143秒。

（精确到秒）

时针、分针对调问题，正成为奥数的一个新领域，也成为全国各地数学竞赛的一个新热点。