好文。时针、分针对调问题,确实是最近数学竞赛的一大热点,越来越热。这个精解,的确简单、方便,容易理解,容易教会学生的。
时针、分针对调问题,近年来受到很多中学教师、奥数教师的青睐。即,某件事开始时间、结束时间,时针、分针位置对调,计算开始时间、结束时间、持续时间。
昨天,一位学生拿给我一道时针、分针对调的题,是北京市的十大重点中学——首师大附中初三实验班的测试题,全班无一人做出。可见难度还是很高的。
这类题解法很多。前文介绍一种最简便、也是最深刻的方法,三句口诀法“时针十二、分针一。开始分针定结束。结束分针定开始),现在发布时针、分针对调问题的精解。
首师大附中的原题是:
老师召开班会。会议开始时候老师看了一下时间,时针在3、4之间,分针在5、6之间(图1)。到会议结束时老师又看了时间,时针在5、6之间,分针在3、4之间(图2)。
图1、事件开始时间 图2、事件结束时间
(时针在3、4之间,分针在5、6之间) (时针在5、6之间,分针在3、4之间)
问:(1)会议开始时间?(2)会议结束时间?(3)会议持续多长时间?(精确到秒)
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解:分析过程:设开始时的时针在 x 处, 15 < x < 20
分针在 y 处。 25 < y < 30,如图3.
图3、设定开始时候的时针、分针在 x、y 处
一:分针从 y 处开始,运行到 y 处。不足两圈120分钟,为
120 - (y-x) 分钟
时针从 x 处开始,运行到 y处。每格为12分钟,为
12(y-x) 分钟
二者相等,得
120 - (y-x) = 12(y-x) 化简,得
x - y = -120/13 (1)
二:开始时候,如果从 3:00 整开始,分针走了 y 分钟,
时针从3的位置开始,走了
12(x- 3×5) 分钟
得方程
y = 12(x- 3×5) 化简,得
12x - y = 180 (2)
联立(1)和(2), 得二元一次方程组
x - y =-120/13 (1)
12x - y = 180 (2)
解此方程组,得
x = 2460/143 = 17又 29/143 (约为 17.2 )
y = 3780/143 = 26又 62/143 (约为 26.4 )
三:开始时间。时针在 17又29/143 的位置,分针在 26又62/143 的位置。
开始时间为 3:26分 62/143秒
结束时间。时针在 26又62/143 的位置,分针在 17又62/143 的位置。
结束时间为 5:17分 29/143秒
会议持续时间 120 - (3780/143 - 2460/143)
= 120 - 9分33/143秒 = 110分 110/143秒
该题精确答案:
开始时间 3:26 分 62/143秒,结束时间 5:17分 29/143秒,会议持续 110分 110/143秒。
(精确到秒)
时针、分针对调问题,正成为奥数的一个新领域,也成为全国各地数学竞赛的一个新热点。
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