巧构图妙解题                                                                                             摘要:对于有些代数题采用常规方法处理往往颇费周折，而利用;图形;则会取得事半功倍的效果。请看： 例1. 已

对于有些代数题采用常规方法处理往往颇费周折，而利用;图形;则会取得事半功倍的效果。请看：

例1. 已知a，b，c，d都是正数，并且

。

求证：

证明：作

和

，使斜边

，

，

如图1）。

图1

由

得：

又

所以

又

所以

即

例2. A、B两地相距64千米，甲骑车比乙骑车每小时少行4千米。如果甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，甲比乙先行40分钟，两人相遇时所行的路程正好相等。求甲、乙两人骑车的速度各是多少？

解：如图2所示，AB表示A、B两地相距64千米，AC⊥AB

图2

设AC＝x，表示甲的行驶速度，作BD⊥AB

设BD＝x＋4，表示乙的行驶速度，在AB上，取

，表示甲在40分钟所行的路程，

⊥AB，且

＝x，连结

与AB交于E，表示甲、乙各在A、B处同时相向而行并相遇于E点，于是

由

，得

摘要:解得： 舍去） 于是 即甲、乙两人骑车的速度分别为12千米/小时和16千米/小时。 例3. 甲对乙说

解得：

舍去）

于是

即甲、乙两人骑车的速度分别为12千米/小时和16千米/小时。

例3. 甲对乙说：;当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁。;乙对甲说：;当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁。;请你算一算甲、乙现在的各自岁数。

图3

解：如图3，画两条直线分别表示甲、乙的年龄，设乙现在的年龄为x岁，从图形中可以很直观地看到。当甲为x岁时，乙为4岁；当乙为x岁时，甲为

 

岁；当乙为

岁时，甲为61岁。

根据甲、乙的年龄差不变，可得

解得：

所以

答：甲现在42岁，乙现在23岁。

例4. 设a，b，c都是正实数，求证：

证明：

时，显然成立。由于a，b的地位相同，不妨假设

，这时要证的不等式转化为

。

图4

作△ABC如图4），CA＝CB，CD为底边AB上的高，E为CD上的一点，使得

，由勾股定理得：

又

在△CBE中，

即

综上，命题得证。

例5. 设a，b，c，d均为正数，满足

，且a为最大。求证：

。摘要:证明：不妨取线段 ，在AC上取一点B，使 ，则 ，以BC为直径作⊙O，如图5。 图5 设 ，作割线或

证明：不妨取线段

，在AC上取一点B，使

，则

，以BC为直径作⊙O，如图5。

图5

设

，作割线或切线）

交⊙O于E，作OF⊥AD，F为垂足。

因为

即

因为

，所以

又

在

中，AO＞AF

所以即有