数与图(4)——多项式表达式

在数与图(3)中，我们绘制了一次函数、二次函数及三次函数的图形，接下来我们希望绘制更为复杂的函数图形，如下式：

通过改变系数的值，来观察系数对曲线形状的影响。这项任务涉及到大量的运算，对于人类来说，即便是借助于计算器，也是一项繁琐且乏味的工作，但是对于计算机，作重复操作恰好是它所擅长的。

在正式开始编写绘图程序之前，我遇到了一个问题，就是如何在App Inventor中呈现高阶幂函数的表达式，如式（1）所示，对于第一项而言，总不能连续地写8个x*吧。我尝试拼接字串，结果遭遇了巨大的困难。这个对于人类来说非常简单的函数式，要想用程序拼接出来，还是有些难度的。经过一番思考，我似乎找到了一个方法，本文将分享这一方法的实现过程，供读者参考。

一、表格法

在幂函数的表达式中，除了自变量x，系数和指数都是可变的。对于系数而言，需要区别对待正负值，而且还要单独处理系数等于0和±1的情况；对于指数而言，需要单独处理指数是1和0的情况；此外，对于首项，还要考虑正负号的问题（不显示+号）。可变的系数与可变的指数交叉在一起，就构成了多种可能的结果，如果不能清楚地列出所有可能的结果，在使用条件语句编写程序时，就会产生疏漏，或进行重复判断。为此我采用了表格法，将所有可能的结果列举出来，如下表所示。

表1 列举所有可能的结果

上面的表格中列举了所有可能的结果，经观察比较，发现有些结果是相同的（标有背景色的单元格），把这些单元格合并，就得到了下面的表格。表格中的max指的是指数的最大值。

二、流程图法

表格表示的结果还不足以方便地转化为程序，需要将表格的内容翻译成流程图（表格和流程图都是一种语言），结果如图1所示。

图1 将表格内容翻译为流程图

在流程图中，每一个表示条件判断的菱形节点都有一个输入和两个输出，这里没有使用“Y”、“N”来标记逻辑值的真假，而是用颜色来加以区分，为的是让流程图看起来更加简洁，其中绿色表示“真”，红色表示“假”，就象红绿灯一样。图中的空心圆表示流程的起点，实心圆表示流程的终点。

图中略粗一点的黑线指向了实心圆，数一数黑线的数量，共有13条，也就是说有13种可能的结果。

三、从流程图到程序

为了把注意力集中在程序的逻辑上，我们暂时不去考虑用户界面的事情。在App Inventor中创建一个项目，命名为“多项式表达式”，直接切换到编程视图中，创建一个有返回值的过程——单项式表达式，代码如图2所示。

图2 将流程图转化为程序

如果仔细数一下最末梢的“则”和“否则”分支，发现这个数量也是13。所谓“末梢”，指的是那些直接输出字符串的分支（有些分支后面连接的是另一个条件语句）。代码中使用的^...是html标记，被标记包围的部分显示为上标。

想象一下，如果没有前面的表格法和流程图法，要写出这样一段程序，难度会有多大！

四、用户界面

如图3所示，用户界面中包含了9个文本输入框、两个按钮和1个标签。文本输入框放在水平布局中，名称分别为a到i的9个小写字母，宽度设为充满。标签1的属性设置见图3。

图3 用户界面

五、编写程序

1、全局变量

如图4所示，程序中需要用到以下三个全局变量，注意新版本中可以直接用组件对象为变量赋值，如图中的输入框列表。

图4 程序中的全局变量

2、有返回值过程

（1）随机系数

这是一个生成随机数的过程，随机生成幂函数的系数，并确保首项系数不为零。参数“首项”为逻辑值，当生成首项系数，即a时，参数值为真。代码如图5所示。

图5 有返回值过程——随机系数

（2）多项式表达式

利用图2中的单项式表达式，拼接成多项式表达式，代码如图6所示。

图6 有返回值过程——多项式表达式

3、无返回值过程

前面之所以要引入全局变量“输入框列表”，就是为了能够批量地设置输入框组件的属性。创建一个过程——输入框初始化，利用针对列表的循环语句，批量设置组件属性，代码如图7所示。

图7 无返回值过程——输入框初始化

4、事件处理程序

在屏幕初始化时，调用输入框初始化过程；当生成系数按钮被点击时，生成9个随机数，并填写到9个文本输入框中；当求表达式按钮被点击时，在标签中显示对应的多项式。代码如图8所示。

图8 三个事件处理程序

六、测试

分别选取三组不同的随机系数，求多项式表达式，测试结果如图9所示。

图9 程序的测试结果

美中不足的是，标签组件虽然可以借助html的<sub>标记将指数显示为上标，但是上标的字号并没有因此而变小。另外，上标的部分超出了标签的上部边界。

七、讨论

这是一个与数学计算无关的例子，但却是一个极好的拼字串的例子，更主要的是，当存在多个变动因素，而这些因素会对结果产生错综复杂的影响时，这个例子提供了一个严谨的分析问题、解决问题的方法。

无论是表格、流程图，还是程序，其实都是一种语言，是一种表达方式。我们可以根据被描述事物的特点，来选择表达方式。表格是二维的，当事物存在两个变动项时，表格有能力呈现出完备的结果；流程图是一维的，而程序是按顺序执行的一系列指令，也是一维的，因此，流程图是距离程序最近的语言。