怎么学好数学？

前几天有位朋友在文章下留言，怎么学好数学？

这个问题好大，如果是以前的我大概不敢回答，但人不是都一直在进步吗？

这些年所见所闻所思所想积累到此，似乎还是可以务虚的聊上那么一聊。

干脆就写一篇文章吧，因为本人能力有限、眼光短浅，所以还是局限于课内数学的学习。

一、推导——知其所以然

数学知识是一个系统的体系，虽然在其演进、发展过程中会有所跳跃，但学生所学的数学课程结构基本逻辑是严谨的，由浅到深、层层递进。

那么建立数学知识——概念、公式、定理、性质的体系就是学习数学一个比较重要的点，甚至可以说是数学学习的核心（这一点如果是上过大学数学系课程的话会更有体会）。

这个体系的建立过程是有机的、自然生长的，一个概念、一个公理，可能就是一粒种子，它会随着逻辑的推演而逐步发生、发展，衍生出新的概念、新的知识，逐渐形成一片森林。

那么要想系统的掌握这些知识，自然就需要知道这些知识的来龙去脉，也既是要能够推导、证明。

推导、证明是理解一个数学概念的必由之路，通过这个过程，你能够把所学的新知识与老知识嫁接起来，也能够对于它在知识体系中的定位把握更清楚。

同时，通过推导、证明，你也能够体会到数学先贤们是如何去思考问题的证明，他们面对问题时的思路是什么样子的？体现了什么样的数学思想？

推导和证明，不仅仅局限于教材中的数学概念与公式，而是一种研究数学的手段。

当你面对一个二级结论，你可以选择死记硬背下来，似乎也无伤大雅，但我还是建议你能够尝试着推导一遍，在这个过程中你能够明白它的基础来源于何处，它那些注意事项又从何而来。

在推导过程中，你对这个二级结论的认识不再是单独的一个点，而是把它置于一个体系中，记得更牢。

你在做题时也是一样，很多同学会遇到这种情况：

看一道问题的答案，可能就是在某几个关节处看不太懂，或者看懂了，但不知道为什么这样做，死记步骤好像用处不大，下次再遇到似是而非的题目去套步骤，十有八九就错了。

很简单，数学的证明、解决是一个过程，那么要想真正理解这个题目，你需要对整个解决过程进行解构——明白每一步的来龙去脉，为什么这样做不那样做，这个思路是从哪里来的，基于什么原因。

当你吃透了每一步，你才算是打通了奇经八脉，把这个过程所代表的解题经验、模板、模型（随便你怎么称呼）纳入到自己的知识体系里。

下次再用时才能做到灵活运用。

我们老师在讲课时，在做学习经验的讲座时，写文章时，一直强调理解，一直强调要往深处学：

理解的过程就是把知识以及背后的思想、思维内化的过程，这个过程首先要做的就是推导——知其所以然。

这也就自然是学深了。

二、练习——实践&书读百遍其义自见

哪怕是数学家，在学习阶段也是需要练习的。

练习的目的是什么？

从知识掌握的角度，练习是为了巩固学生对于知识的理解，所以你看课本上的题目难度并不大，主要是知识的直接应用，没有太多弯弯绕，拓展难度这不是课本习题的主要任务。

从实际应用的角度，练习是为了将知识转化成工具——你想解决一个问题，就需要相应的工作——知识、经验......但是刚刚学过的知识他处在未被激活的状态，只有带着你多做一做题目，都是围绕某一知识在不同情景下的应用，你才知道，哦，利用这个知识我可以解决某某问题.......

从选拔竞技的角度，练习是一种实战演练，是一种磨砺，是一种刻意练习，伴随着题目难度的升高，不断的拉高你思考问题的高度和广度，在这个过程中逐渐对学生进行分层，这种分层一直会持续很久。

那么什么是好的练习？

练习随着你的目标不同而有不同的分类：

最初的练习应该是基础的、适当重复的，有基于概念的辨析，对于细节的考察；

之后的练习需要逐步向上，从不同维度来进行考察——不同角度、不同难度、不同综合度，需要沿着孩子自身的能力上限，以达到最好的效果。

当然这一切都是理想化，现实中学生的自主练习往往呈现出要么是低水平重复，要么是盲目向上，很少能够做到逐步的拾级而上。

只能在此提出一些建议：

高水平的练习题——综合性强、过程比较复杂、比较抽象、流程比较长的题目，要做透、做通；

做透和做通是一回事吗？

我个人觉得不是。

做透是我第一点所说，要求理解、贯通过程的每一步，知其所以然；

做通是能够把题目的做法推而广之，能够适配其他题目，那么做通就需要学生具备举一反三的能力，这种能力如何培养呢？

那就是一题多解与多题一解。

关于这一点就家长曾经提到过，不建议每一道题都来一题多解、多题一解，我是认同这一点的，不是每道题都必须，一些比较经典的、有价值的题目是可以的。

其实一些比较好的教辅，尤其是学校配发的一些教辅，往往会对一些经典例题进行变式练习，让学生在这个过程中加强掌握。

基础性的练习题——要限时、要有节制。

限时是因为基础性的题目练习主要解决几个问题：

一是对知识的巩固认知，这是基础题的题中之义；

二是训练熟练度和准确度，压缩解题中的思考时间，给思考留出更多时间。

所以限时就是必须的了，限时练习和不限时练习对于学生心理的压力是不一样的，起到的训练效果也不同。

有节制的意思就是不要一致沉溺刷基础题，有的孩子逮着自己会的使劲刷，难题就直接跳过，那么能力就很难得到提升。

合理的选择教辅

理论上讲，合格的老师会给学生安排合适的练习，在当下这个信息极其充裕的时代，这并不是一个很难的事情。

但如果学生脱离了学校学习自学，或者学校老师的能力不足以做好这件事情，那么练习的选择就是一个大问题，教辅的选择也就重要起来。

我经常看到在一些社群里，有家长朋友对于教辅的选择极其......

教辅的选择有几个原则：

高、低搭配；同步、专题搭配；课内、课外搭配。

希望大家在选择教辅时琢磨一下这几点，不是本文重点，在此不赘述。

只不过想说，这世界不是只有《必刷题》一本教辅，别就只盯着它了成吧？

三、积累——不积跬步无以至千里

数学是一个重积累的科目。

就比如有些孩子高中数学成绩很差，问我怎么学习，我一般先问课本看熟了没有，课本上的题目做完了没有。

没有？

先去把课本看懂、做完再说。

不是说课本就是一切，而是课本是最浅显的、对学生最友好的、最系统的，把知识的来龙去脉，基本应用展示给学生的一本书了。

对于基础薄弱的学生，你只有把以课本为代表的基础内容搞扎实了，才能够跟得上老师讲解的思路，否则就要么听天书，要么跟不上，听课很狼狈。

再比如计算，为什么有的孩子高中计算很快，展开、合并、因式分解飞一样，展开整理一步搞定，有些孩子则做起来很慢，吭吭哧哧搞定了，一对答案，要么符号错了，要么漏一项。

为什么？

自然是计算积累的不够，别人从小到大在计算上花费的精力比你多，自然到这会儿就比你快。

大部分孩子在数学上的差距就是积累出来的，扎扎实实的推进，在这个过程中，知识在积累、能力也在积累，到最后一切都是水到渠成。

这里空一点、那里漏一点、别处懒一点，就在这一点、一点中，差距就拉出来了。

对数学概念的理解是如此，对难题的解决是如此，我一直相信大部分人的先天学习能力差别并没有大到让人难以追上，后天的积累也许更重要，更让人绝望。

所以我是一直不相信那种所谓的初中普通，到了高中就逆袭大爆发的会有多少，更多的是一步领先、步步领先。

所以，踏实一点、扎实一点，果实就会大一点。

四、模仿、比较与化归

没有人能够无中生有，学习数学也是如此，模仿是学好数学的必经之路。

当你对于一类问题比较陌生时，模仿是你学习的最直接路径。

其实要求学生一开始就把一些复杂问题的思路搞明白并应用，不太现实。

所以模仿同题型题目的做法，在模仿的过程中不断体会，寻找自己解题的障碍并克服就是比较可行的做法。

亦步亦趋并不丢人，没有进步才丢人。

在模仿的过程中，学生最容易遇到的问题就是——题目和原题不一样，模仿不动了！

条件变了，条件少了，题目复杂了，题目抽象了.......

或多或少的变化会让单纯的模仿变得无法推进，怎么办？

那么就需要比较，两道题目，条件有什么不同，结论有什么不同，这些不同对题目的解决过程有什么影响？

是否可以转化？

这其实就是化归了，问题千千万，但主干问题则有限，将问题不断的转化，转化成自己比较熟悉的形式，转化成比较简单的形式，这就是化归思想，也是我个人觉得非常重要的一种思想。

模仿、比较与化归，这三者是有机的结合。

模仿是基础，通过比较不断的寻找题目之间的本质联系与共性，不断的进行化归，也让模仿越来越淡出解决问题的过程，最后留给学生的就不是形式化的解题步骤，而是一个鲜活的解决问题的思路，甚至是思想。

五、拆分、简化

当你面对一个比较复杂问题时，可以将之拆分成若干个小问题（本身很多难题就是多个小问题复合而成的），比如分类讨论，比如切分步骤。

当你面对一个比较复杂的学习任务时，将之拆分成若干个小的步骤、任务，一点一滴的积累到最后并完成它。

当你看到一个比较复杂的任务时，能不能抛开附加的那些细节性的内容，抓住其主干，找到主要的解决思路?

当你面对一些不太确定的问题时，是否可以用特殊值法（不要小看这种做法）、用极限法、用边界点来讲问题简化？

数学问题是复杂的，尤其是当我们把数学问题的范畴缩小到考试时，更是如此，那么将问题拆分、简化，就是一个可行的方向，也是解决问题的一种选择。

六、梳理

数学学习是一个不断膨胀的过程，随着你日复一日的学习，各种定义、公式、定理、性质、题型、方法、技巧、经验......你会发现其内容会越来越多，越来越难以把控。

这个时候就需要不断的周期性的来对知识进行梳理，在梳理的过程中，将各类型知识用一个逻辑归纳、整理，也是将知识压缩的过程，这时候你就会发现其实新知识并不多，它们其实只是乱而已。

梳理的过程也是一个回顾、巩固的过程，数学是讲逻辑的，梳理的过程就是重新建立逻辑统一所学知识的过程，也是一个蹲下积累，准备下一次跳起的过程。

七、直觉与尝试

我们都希望自己解决问题时不要那么狼狈，遇到所有的题目都是好整以暇，如庖丁解牛一般轻松解决，但现实是不太可能。

不管是公理定理的证明还是数学问题的解决，你会发现优美答案的背后，很多时候都是丑陋而艰难的思考过程——猜想、尝试、失败、再尝试.....每次进步一点，不断逼近，最后找到解决方法

在这个过程中直觉和尝试就是必须的一个过程。

直觉是天生的，也不是天生的！

你让一个小学生去思考导数大题，在没有学过的情况下（我现在都不敢随意举例了，因为真的有小学生学到微积分的......），你让他给你一个直觉的方向，他也给不了你。

本文所谓的直觉是基于你大量的练习、积累之后，在面对复杂问题时下意识的选择，其实也是你思维的结果，只不过不为自己明晰而已。

这一点相信很多同学都有体会，你有一道问题废寝忘食做了好几天搞不定，学霸搞定了，你去请教，人家说就是觉得应该这样做......

如果你觉得直觉不靠谱，太玄学，那么尝试就是很重要的一种方式了。

当你对一个概念不太理解时，你可以尝试举例；

当你面对一道抽象性极强的题目不知所措时，你可以代入数值具体尝试下；

当你面对一道复杂的题目不知如何下手时，那么就没事走两步，将条件变变形、往后推几步、常规的流程走一走......

尝试的过程，其实是用自己所熟悉的知识体系、方法去贴近题目，试图把题目的解决代入进去，给自己一些灵感和思路，就像是运动员的热身，又像是飞机起飞前的滑翔。

如何学好数学，是一个很复杂的问题，四五千字无法给出一个完整的结论，大概得写一本书才行，今天也是从几个侧面来给大家聊一聊这些，希望对大家有用。

END