2021年11月各区县期中考试压轴题解析(三)：一线三等角问题
如上图，是一线三等角的三种情况，一线三等角问题初次出现在教材24.5（4）例题6，之后的与一线三等角相关的问题都是围绕教材的例题进行改编的，因此吃透教材中的例题是问题解决的关键。解法分析：本题的第1和3问是宝山卷的原题，而本题的第2问是基于宝山卷的原卷进行增加的变式问题。本题的背景就是基于一线三等角模型、X型基本图形和等腰三角形存在性讨论。本题还有一个特殊性在于这是等腰三角形背景下的一线三等角问题。本题的第1问利用相似三角形间的线段比即可得出；本题的第2问利用相似三角形的比例线段间的关系以及X型基本图形构建y关于x的函数关系式。
本题的第3问改编自2016年上海中考25题，对于等腰三角形存在性问题的讨论，由于▲ANE的三边长度比较难求，因此利用相似的传递性，讨论▲ABM为等腰三角形的存在性，结合锐角三角比表示边的长度。
解法分析：本题的背景与宝山卷非常相似，依旧是一线三等角模型结合A型基本图形以及边的相等。本题的第2问由DE//AB，得三角形ABD和三角形DEC为等腰三角形，结合解三角形以及相似三角形间比例线段的转化，有两种做法：
本题的第3问利用线段相等，联想等腰三角形的三线合一。通过作高构造相似三角形，比较巧妙的是，其中一组线段的比恰好就是∠ADE的余弦值。
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