图形的翻折(勾股定理的应用)

把一个图形沿某一条直线翻折，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。翻折后的两个图形对应线段的长度和对应角相等，对称点的联系被对称轴垂直平分。

翻折中必有等边和等角。观察并关注通过折叠新构建的三角形，特别是直角三角形。特别解设表示相关数量，建立等量关系，多运用勾股定理，设未知数解方程，得到答案。

此类问题，往往是填空或选择的题型，而且没有图形，并且需要分类讨论。对于此类题目，首先根据题意画出翻折后的图形，然后再根据等腰三角形或直角三角形的特点进行分类讨论，排除不可能的情况，通过设未知数列方程求解。

1 由翻折产生的等腰三角形的存在性问题(求角度问题)

2 由翻折产生的等腰直角三角形的存在性问题(求线段长度问题)

对于翻折背景下的几何证明问题，一般来说，根据题意画出图形，然后找到直角三角形，利用勾股定理求解。

解法分析：首先根据题意画出图形，利用翻折的性质可以得到A、C、H三点共线，继而利用勾股定理求出CF的长，最后求出BF的长。

解法分析：首先根据题意，可得∠B=30°。根据翻折的意义，可得△BPQ为等边三角形，继而构造直角三角形或利用勾股定理求线段的长度或建立函数关系式。

解法分析：要求△ABC的面积，实际上就是要求AD的长度。由图1带来的启示，可以将△ABD和△ACD向外翻折“拼”成一个正方形。然后利用勾股定理求得线段的长度即可。

除了利用翻折以外，还可以利用旋转添加辅助线，即将图形“变”成图1的形式。

除此以外，当题目背景围绕角平分线或三线合一时，往往可以借助翻折进行辅助线的添加。链接：巧用翻折和旋转解决线段中的和差关系