与30°-60°-90°相关的压轴题(2)

在与30°-60°-90°相关的压轴题中涉及了30°-60°-90°的直角三角形与直角三角形斜边中线、等积法相关知识融合的压轴题。在与30°-60°-90°相关的压轴题中将进一步研究30°-60°-90°的直角三角形与等腰三角形、全等三角形、垂直平分线和三角形中位线相关知识融合的压轴题，主要侧重解决求线段长度、建立函数关系和求面积等。

解法分析：由题意分析可得，△ADP和△PBE都是30°-60°-90°的直角三角形，熟练表示边之间的数量关系是解题的关键。本题第1问是当D为AC中点时，根据AD的长度先表示AP的长度，继而求BP，最后求BE；本题的第2问是PD=PE的条件，设PD=PE=x，用含x的代数式表示AP，BP的长，由AP+BP=4求解。

解法分析：本题的第3问是建立y关于x的函数关系式，用△ABC的面积减去△ADP和△BEP的面积即可得到四边形的面积。解题的关键还是在于灵活表示30°-60°-90°三角形三边的数量关系。

灵活表示各边的长度是解决30°-60°-90°直角三角形相关问题的关键：

解法分析：由题意分析可得，△BED是底角为30°的等腰三角形，△ADP是等边三角形，熟练运用特殊三角形的性质是解题的关键。本题的第1问是证明线段相等，利用“等角对等边”即可证明；本题的第2问是函数关系的建立，在△BED中建立函数关系即可，过点E作BD垂线，利用勾股定理解题即可。

第2问另解：顶角为120°的等腰三角形的腰和底的比为：1:1:√3.利用这条性质，可以较快地求出y关于x的函数解析式，对于定义域的特殊位置求解起来也方便很多。

        解法分析：本题的第3问的问题背景是全等三角形，通过分析可知△DAF是底角为30°的等腰三角形，若△BDP与△DAF全等，此时△DAF也为底角为30°的等腰三角形，此时可得P与C重合。

解法分析：由题意分析可得，综合利用垂直平分线的性质定理和30°-60°-90°直角三角形的性质是问题解决的关键。本题的第1问是特殊情况的讨论，即点E与点C重合的情况，根据题意画出图形求解是问题解决的关键；本题的第2问是函数关键的建立，既需要利用垂直平分线，又需要利用勾股定理进行辅助线的添加是问题解决的关键。

  解法分析：本题的第3问融合了中位线的相关性质，需要综合利用中位线和30°-60°-90°直角三角形的性质进行问题。