二次函数背景下特殊三角形的存在性问题

ONE

问题引入

解法分析：对于等腰三角形的存在性问题，利用“两圆一线”找交点，①已知边为腰时，以已知边的两端点为圆心，已知边为半径画圆找交点；②已知边为底时，利用尺规作图法作出已知边的垂直平分线进而找交点。

对于平面直角坐标系中的等腰三角形存在性问题，有以下几种做法：①如果点落在坐标轴上，可以直接利用“等腰三角形的三线合一”或“两边”相等的性质，直接求点的坐标；②如果已知两定点，还有一动点在直线上，则设出动点坐标，再利用距离公式，分类讨论。

③如果动点在抛物线上或动点个数不止一个，则不建议利用距离公式，这样计算过程繁琐且容易出现高次方程，可以利用图中的相似三角形或其他图形的特点进行解决。

解法分析：对于直角三角形的存在性问题，利用“两圆一线”找交点，①已知边为直角边时，分别过边的两段点作边的垂线找点；②已知边为斜边，作以斜边为直径的圆找点（直径所对的圆周角是直角）。对于平面直角坐标系中的直角三角形存在性问题，有以下几种做法：①如果动点在直线上，则可以利用距离公式和勾股定理求解；

②如果动点落在抛物线上，则可以构造“一线三直角模型”或利用“射影定理”求解。

two

例题讲解

解法分析：本题的第(1)问是直角三角形的存在性问题，由于点N是抛物线上的一动点，因此可以通过构造“一线三直角模型”进行求解，此时以点C和点B为直角顶点进行分类讨论。

解法分析：本题的第(2)问是等腰三角形的存在性。由于点M在对称轴上，因此可以利用距离公式解决。同时进行分类讨论，即BC=BM，BC=CM，BM=CM三种情况。

解法分析：本题的第三问是等腰直角三角形的存在性问题。既要结合等腰三角形的性质，又要结合直角三角形的性质。对于等腰直角三角形的存在性问题，要充分发现图形中隐含的45°角，一般利用对称性或两腰相等来求点的坐标。

解法分析：本题是等腰三角形的存在性问题。需要分类讨论，由于点P和点Q都是动点，且∠MPQ=45°，因此不能用距离公式计算。可以寻找图中隐含的45°角，利用相似三角形或其他的等量关系求点的坐标。

three

真题链接

2022虹口二模24题第(3)问

解法分析：本题的第二问是等腰直角三角形的存在性问题。需要分类讨论，即∠MEN或∠EMN=90°两种情况。观察到∠BCO=45°，借助图像特征，得到▲EMN的一边垂直或平行y轴，再利用对称性求出点的坐标。

2021上海中考24题

解法分析：本题本题的背景是一次函数+二次函数+等腰直角三角形，且二次函数的对称轴是直线x=0。第一问是常规的解析式的求法，毫无难度；第二问分了2个小问，问题的关键是A在直线PQ上，且AB⊥x轴，并且以AB为斜边向左作等腰直角三角形，这是往年中考题中都不曾有的，这样的应用比较新颖。不论A是否与Q重合，关键都是利用等腰直角三角形的性质，用A的坐标表示C的坐标。第二问的第①问为特殊点，用具体数字表示C点坐标，比较简单；第二问的第②问，需要根据A在直线PQ上，设出A点坐标，再利用字母系数表示C点的坐标，再将C点坐标代入抛物线中，继而求出点C坐标。

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