平行线等分线段成比例定理与垂径定理的综合应用

如下图是“平行线等分线段成比例定理”(左)和“垂径定理”(右)的基本图形和基本图形。

若将这两个基本图形组合又得到了以下两对组合基本图形，即直径与弦有交点和无交点两种情况：

对于此类问题往往隐去了圆中垂直于弦的半径或弦心距(OH)，需要作出这条弦心距，借助垂径定理和平行线等分线段成比例定理的相关性质证明线段相等。

基本问题

解法分析：本题是典型的垂径定理和平行线分线段成比例的组合图形。对于第(1)和第(2)问，无论是证明CE和DF的等量关系，还是证明AE、BF和OH间的数量关系，都需要利用这两个定理。因此通过过点O作EF的垂线，借助垂径定理和平行线等分线段成比例定理可以得到。

当A、B在MN两侧时，仍旧是延续在同侧的添线方法，但仅仅过点O作CD的垂线还不能解决问题。需要将同侧的梯形转化为异侧的三角形来做，因此还需要延长OH和BF，构造三角形的中位线。

变式问题

解法分析：本题是典型的垂径定理和平行线分线段成比例的组合图形。对于第(1)问，要证明EO=OH，都需要利用这两个定理。因此通过过点O作CD的垂线，借助垂径定理和平行线等分线段成比例定理可以得到。

本题的第(2)问涉及了45°角的分类讨论，通过计算，可得∠ECO≠45°，因此只有∠EOC和∠CEO=45°两种情况。通过作垂线解三角形即可得到EO的长度，进而得到EF的长度。

本题的第(3)问涉及了求四边形CDFE面积和周长的问题。对于该四边形的面积，计算起来并不复杂。但是对于周长的求解，即线段EF的长度的求法有些许难度，对于EF的求法，可以联想“平行线分线段成比例定理”种对于中间截线的求法进行平行线的构造。

通过过点F作CD的平行线，再利用勾股定理即可求出EF的长度。

模考真题

解法分析：2021嘉定二模的25题虽然是圆的背景，但是主要围绕着平行线分线段成比例定理(图1)，X型基本图形(图2)，以及勾股定理和垂径定理结合展开，本题的第三问在(1)和(2)的前提下，涉及了分类讨论，以字母表示数，但是还是以相同的方法进行求解。

本题的第(1)问其实是“平行线分线段成比例定理”的基本图形，因此过点O作垂线OH，构造BF//OH//AE，继而得到FH=EH，再根据垂径定理CH=DH，得CF=DE.

本题的第(2)问利用AE-BF-x型构造比例关系，设AB与CD交于点G，先求出AG和BG的值，再利用勾股定理求出CH的值，最后求出CD的长。

本题的第三问由第一、二问的启发，进行分类讨论，即A、B在CD同侧或A、B在CD异侧，同时利用中位线的性质定理得到OH的长度，继而利用勾股定理得到CH的长度，这样就得到了CD的长度。特别地，需要注意的是当A、B位于CD异侧时，AB⊥CD，E、F重合的情况。

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