点在线段及其延长线上分类讨论问题(八年级等腰三角形存在性问题)

对于点在线段及其延长线上的分类讨论问题，主要根据点的位置(射线、线段、直线)进行分类讨论，尽管点的位置发生了改变，但是问题解决的路径(如全等、勾股定理)等仍是可行的。

对于等腰三角形的存在性问题，从边或者角的角度进行分类讨论，对于钝角或直角的情况，无须讨论，得出结论即可。对于等腰三角形的存在性问题，要善于利用边或角的等量关系，建立线段间的数量关系。

问题1：菱形背景下的等腰三角形存在性问题

本题是菱形背景下与函数关系式建立以及等腰三角形存在性相关的问题。本题的解决路径在于构造直角三角形，利用勾股定理建立线段间的数量关系。同时善于利用图中的全等三角形，寻找线段间的等量关系。

解法分析：本题的第(1)问是证明ABCD是菱形，由于ABCD是平行四边形，所以只需要证明一组邻边相等或者证明对角线互相垂直。根据题意，可得△ABE和△ADF全等，继而得到AB=AD，从而证明ABCD是菱形。

解法分析：本题的第(2)问是建立线段间的函数关系。本题可以通过作高，利用勾股定理建立△ABE间线段的数量关系。

解法分析：本题的第(3)问是等腰三角形的存在性问题。同时涉及到点在线段及其延长线上的分类讨论问题。同时本题的解题关键在于发现四边形ABCF为等腰梯形，即∠CBA=∠BAF。

首先根据P点的位置进行分类讨论，当P在射线AF上时，存在AB=AP和AB=BP两种情况：

当P在线段FA延长线上时，△PAB为等腰三角形，此时有且仅有AP=AB一种情况：

问题2：矩形背景下的等腰三角形存在性问题

本题是矩形和翻折背景下与函数关系式建立以及等腰三角形存在性相关的问题。本题的解决路径在于利用“角平分线+平行线”必有等腰三角形这一性质进行问题解决的。

解法分析：本题的第(1)问当点M与点D重合时，根据翻折和平行，可得△BDP为等腰三角形，继而通过在直角△DPC中利用勾股定理，即可求出CP的长度。

解法分析：本题的第(2)问是建立线段间的函数关系。本题在(1)的思路下，利用△BMP为等腰三角形，再通过作垂线构造直角三角形，利用勾股定理建立函数关系。定义域的取值确定在于P与C重合时求出x的值。

解法分析：本题的第(3)问是等腰三角形的存在性问题。同时涉及到点在线段及其延长线上的分类讨论问题。根据点P在线段BC或线段BC延长线上两种情况进行分类讨论。本题作出关键的图形是问题解决的关键。同时充分结合等腰三角形的性质求解。