压轴题“一题精讲”(二十四)：如何证明90°？(2023北京中考27题第(2)问解析)

常见的证明90°的方法主要有以下几种：

方法1：利用等腰三角形的三线合一定理

如下左图，已知AB=AC，点D为BC中点，或AD平分∠BAC，可得AD⊥BC。

方法2：利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题是真命题，但是却不能当作定理使用。如下右图，在证明时，需证明∠1=∠2，∠3=∠4，再利用三角形内角和180°。再证明∠1+∠3=90°。

方法3：利用“对顶角+90°”模型，利用等角证明90°

如下左图，已知AD⊥BC，根据∠3=∠4，只需证明∠1=∠2，即可证明BE⊥AC.

方法4：利用四点共圆+直径所对的圆周角为90°证明

如下右图，已知∠D=90°，只需证明A、D、C、B四点共圆，即可证明∠C=90°。

方法5：全等三角形或相似三角形的对应角相等。

解法分析：通过观察或测量猜想∠AEF=90°.对于证明两条线段垂直，有以下的路径：

思维点1：利用等腰三角形的三线合一定理，即倍长FE，构造EF=EP，继而证明△AFP是等腰三角形(图2)；

思维点2：利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半的逆命题，即构造边AF的中点P，并证明EP=AP=PF，从而得∠AEF=90°(图3)；

思维点3：由∠EFM+∠FOM=90°，∠FOM=∠AOE，联想证明∠EFM=∠MAE，继而构造含该两角的三角形相似，通过过点E作AC的平行线，证明△AME∽△FPE(图4)；

     思维点4：由“直径所对的圆周角”是直角，证明点A、E、F、M四点共圆(图5).

      有了以上的思维路径后，还需要结合题目背景中“D为CF中点”、DM=DE、∠MDE是∠C的倍角，∠AMC=90°等条件寻找图形中线段和角之间的等量关系，通过演绎证明，建立所证结论和已知条件中的桥梁，从而证明结论的正确性.

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