正方形背景下的相似三角形及比例线段证明

       正方形中常常隐藏着许多的等角以及平行线，这往往蕴藏着丰富的基本图形或相似（全等）三角形。同学们往往看到复杂的图形就会望而却步，在做证明题时，以“识图→研图→解图”的模式，去解决这一系列的问题。本文以正方形为背景，根据题目背景，挖掘其中的基本图形，从而达到解决问题的目的。

     思路点拨：①要求证BE=CF，从全等三角形着手，易证▲ABE≌▲BCF.

②题目中出现了线段的等积式，则考虑从相似三角形或者比例线段入手。（1）若从相似入手，则BC和CE都涉及的三角形是▲CGE与▲CGB（共边三角形），欲证这两个三角形相似（公共角：∠GCE=∠GCB），缺了一组角，同时还需要证明CG=BE，而突破口就在在于AB的重点M这个条件。

        思路点拨：（2）若从比例线段入手，将结论转化为：BE:CE=BC:BE，若要发现BE:CE与哪一组比例线段相关，则要添加辅助线，构造"X“型，即延长AE、DC相交于点N，形成若干组"X"型基本图形。

       思路点拨：cot∠CBF=CF/BC.根据已知条件，根据已知条件：BE2=BC·CE，E为BC的黄金分割点，则BE/BC=（√5-1）/2。则本题的关键是去证明BE=CF.由问题1的思考，辅助线的添加水到渠成.

“识图、研图、解图”的思维导图（图5）

题组设计的基本图形“X型”（图6)和子母三角形(图7)

     思路分析：（1）欲证AE=BG，则要发现其中的全等三角形，可以有两对全等三角形选择：▲AOE与▲BOG；▲AEB与▲CGB；（2）本题的突破口在于AG:CG；由AG:CG=AB:CP，可以根据▲BCP与▲AOE相似，进行相等线段转化即可解决问题；也可以计算tan∠CBP与tan∠OAE，解决问题。