三角形中位线的证明及其简单应用

三角形的中位线证明一直是初中几何性质定理证明的难点，既要证明数量关系，又要证明位置关系。而证明突破口就在于能否根据中点添加相应的辅助线，证明的方法虽然多，但是万变不离其宗，都是围绕中点的性质进行展开。

     背景条件：在三角形ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，联结DE。试探索DE与BC的数量关系与位置关系。

       一、倍长中线添加辅助线       

      证法1（图1）和证法2（图2）借鉴了教材引入中的剪拼法，利用中点的对称性添加辅助线，得到全等三角形，通过全等三角形及平行四边形性质，得到DE与BC的数量关系及位置关系。

     二、利用中点，构造平行四边形

证法3（图3）和证法4（图4），通过添加平行线，利用中点构造平行四边形，再根据全等三角形性质和平行四边形的判定和性质，得到DE和BC的数量关系和位置关系。

 三、利用面积法证明

       四、利用向量法证明

*五、利用比例线段证明

三角形中位线定理证明微课：

1、任意四边形（不论是凸四边形还是凹四边形）的中点四边形都是平行四边形。中点四边形的两组对边平行且等于其中一条对角线的一半，因而构成了平行四边形，充分利用了三角形的中位线定理。

2、对角线相等的四边形，围成的中点四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形，围成的中点四边形是矩形；对角线互相垂直且相等的四边形，围成的中点四边形是正方形。

3、任意四边形的中点四边形的周长等于原四边形对角线的和。

4、任意四边形的中点四边形的面积等于原四边形面积的一半。

方法点睛：看到中点，我们的添线思路是倍长中线或者构造中位线。但是发现求证的结果都与“构造等腰三角形”相关，因此可以做第三边的中点，利用中位线的性质定理得到结论。