2020上海中考25题解法赏析(二)

     本文将主要介绍2020上海中考25题第(3)小问的20种解法。

      25(3)背景：

解题思路分析：第(3)题的解题思路如下：

由本题的第(1)小题：证明∠BAC=2∠ABD，以及前2问的辅助线“延长AO交BC于H”，经过观察和分析，图中有现成的2个基本图形，同时可以通过添加平行线构造A或X型基本图形。

(1)2个基本图形：共角共边型相似三角形(∠OAD=∠ABD，∠ADO=∠ADB)：▲AOD∽▲ABD，以及角分线模型（AO平分∠BAC)：BO:DO=AB:AD，通过计算，可以得到半径的长度；

(2)利用AD:CD=2:3，通过作平行线，构造A型或X型基本图形，合理设元，利用线段间的比例关系求解；

(3)本题的背景是在圆中，因此可以借助垂径定理、圆中四者关系做弦心距，利用勾股定理或锐角三角比等基本方法解决问题。

(4)通过构造全等或等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一定理及全等三角形的性质定理，将线段转化到同一个三角形中，进而解决问题。

具体解法流程图如下：

解法1：利用AD:CD=2:3,构造平行线，利用A/X型

小结：解法1-1~1-5均是借助了AD:CD=2:3这个比例式，找到AO:HO的比例关系，借助AO=BO，进而利用方程思想设元，在Rt△AHC中利用勾股定理最终求出BC的长.

解法2：利用勾股定理

     小结：要得到DO:BO=2:5,除了可以借助△AOD∽△ABD外，还可以利用AO平分∠BAC这一条件，得到AD:AB=DO:BO.

解法3：利用锐角三角比

  小结：利用弦心距及直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，利用锐角三角比进行求解。

       解法4：构造等腰三角形

       解法5：构造全等三角形

       解法6：利用梅涅劳斯定理（链接：梅涅劳斯定理）